50. Частные производные первого и высших порядков

Частные производные первого порядка от функции многих переменных обычно зависят от тех же переменных и их можно ещё раз дифференцироватью

Частными производными второго порядка называются частные производные от частных производных первого порядка

Частными производными третьего порядка называются частные производные от частных производных второго порядка

Частные производные других высших порядков определяются аналогично.

51. Теорема о смешанных производных второго порядка

Пусть функция , и ее частные производные определены в некоторой окрестности точки . Тогда предел если он существует, называется смешанной (смежной) производной функции в точке и обозначается . Аналогично определяется как если он существует.

Рассматривая частные производные и как функции от , приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения ,

называют частными производными второго порядка функции по х и по у соответственно, а выражения ,

– смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: , , и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=2³ ), 4-го порядка (их будет 16=2⁴ ) и т.д.

Теорема : Если в некоторой окрестности точки функция имеет смешанные частные производные и , причем эти производные непрерывны в точке М₀ , то они равны в этой точке:

= .

Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции не зависят от порядка дифференцирования в точке М₀.

Обозначение :

Теорема Шварца:

Пусть выполнены условия:

1. Функции определены в некоторой окрестности точки .

2. непрерывны в точке   .

Тогда , то есть смешанные производные второго порядка равны в каждой точке, где они непрерывны.

Теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных индуктивно распространяется на смешанные частные производные высших порядков, при условии, что они непрерывны.

Пример

смешанные производные второго порядка равны всюду кроме точки (0,0), в которой и нарушается равенство смешанных производных.

52. Полный дифференциал.

Полное приращение функции 2-х переменных

Если обеим переменным дать приращение, то функция получит полное приращение

Определение дифференцируемой функции

Ф ункция называется дифференцируемой в точке М(х,у), если ее полное приращение можно представить в виде

,

где Δx и Δy -произвольные приращения аргументов х и у в некоторой окрестности точки М(х,у), А и В –постоянные, независящие от Δx и Δy , o(ρ)-бесконечно малая более высокого порядка, чем -расстояние между М(х,у) и

О пределение дифференциала

Главная линейная относительно Δx и Δy часть полного приращения функции

называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df(x,y) . Таким образом,

Ф ормула для вычисления дифференциала

Если функция дифференцируема в точке М(х,у),то она имеет в этой точке частные производные и , причем первое =В, а второе В

Т аким образом Если положить ,то