5. Площадь поверхности вращения.

Пусть поверхность задается вращением относительно оси OX графика функции y = f (x), a ≤ x ≤ b, и функция f имеет непрерывную производную на этом отрезке. Тогда площадь поверхности вращения определяется формулой

Механические приложения

1. Вычисление работы сил

Материальная точка движется по непрерывно дифференцируемой кривой, при этом на нее действует сила, направленная по касательной к траектории в направлении движения. Полная работа, совершаeмая силой F(s):

Если положение точки на траектории движения описывается другим параметром, то формула приобретает вид:

2. Вычисление статических моментов и центра тяжести Пусть на координатной плоскости Оху некоторая масса М распределена с плотностью р = р(у) на некотором множестве точек S (это может быть дуга кривой или ограниченная плоская фигура). Обозначим s(у) - меру указанного множества (длина дуги или площадь). Определение 2. Число называется k-м моментом массы М относительно оси Ох. При k = 0 М₀ = М - масса, k = 1 М₁ - статический момент, k = 2 М₂ - момент инерции. Аналогично вводятся моменты относительно оси Оу. В пространстве подобным же образом вводятся понятия моментов массы относительно координатных плоскостей. Если р = 1, то соoтветствующие моменты называются геометрическими. Координаты центра тяжести однородной (р - const) плоской фигуры определяются по формулам:

где М₁^y, М₁^x - геометрические статические моменты фигуры относительно осей Оу и Ox; S - площадь фигуры. Вычисление работы сил

Материальная точка движется по непрерывно дифференцируемой кривой, при этом на нее действует сила, направленная по касательной к траектории в направлении движения. Полная работа, совершаeмая силой F(s):

Если положение точки на траектории движения описывается другим параметром, то формула приобретает вид:

3. Вычисление статических моментов и центра тяжести Пусть на координатной плоскости Оху некоторая масса М распределена с плотностью р = р(у) на некотором множестве точек S (это может быть дуга кривой или ограниченная плоская фигура). Обозначим s(у) - меру указанного множества (длина дуги или площадь). Определение 2. Число называется k-м моментом массы М относительно оси Ох. При k = 0 М₀ = М - масса, k = 1 М₁ - статический момент, k = 2 М₂ - момент инерции. Аналогично вводятся моменты относительно оси Оу. В пространстве подобным же образом вводятся понятия моментов массы относительно координатных плоскостей. Если р = 1, то соoтветствующие моменты называются геометрическими. Координаты центра тяжести однородной (р - const) плоской фигуры определяются по формулам:

где М₁^y, М₁^x - геометрические статические моменты фигуры относительно осей Оу и Ox; S - площадь фигуры.

74. Несобственные интегралы первого рода

 

Пусть функция  y = f(x)  определена и непрерывна на [a,¥).Рассмотрим интеграл .Вычисление несобственного интеграла можно свести к вычислению обычного определенного интеграла и нахождению предела ( ). Если предел, стоящий справа, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся и он равен значению этого предела. В противном случае интеграл называется расходящимся.

Пусть F(x) – одна из первообразных  f(x),  тогда .

Обозначим  .

Тогда  F(¥)-F(a) - обобщенная формула Ньютона - Лейбница (для вычисления несобственного интеграла).