62. Разложение рациональных дробей на простейшие.

Покажем, что всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей.

Пусть дана правильная рациональная дробь  .

Причём последовательное применение данной теоремы ко второму слагаемому данной теоремы приводит:

                (2-134)

   

Где  многочлен, степень которого ниже степени знаменателя. И аналогично формуле (2-134) можно получить:

.     (2-136)

63. Интегрирование элементарных дробей.

k

64. Интегрирование рациональных функций

 

Определение. Функция называется рациональной, если ее можно представить в виде дроби

, где P(x)  и  Q(x) – многочлены.

 

Из класса всех дробей выделяют основные простые дроби:

где a, p , q, M, N ÎR , kΠN.

Интегралы от первых двух типов простых дробей находятся с помощью подстановки t = x-a:

,

= .

Интеграл от третьего типа простых дробей рассмотрим в предположении, что знаменатель не имеет корней, т.е.q - p² >0. Выделим полный квадрат в знаменателе

,

где a² = q - p² >0.

=

Если степень числителя выше степени знаменателя, то дробь называется неправильной; в таком случае выполнив деление, получим

65. Интегрирование иррациональных функций.

Интеграл вида R , где R - рациональная функция, с помощью подстановки =t приводиться к интегралу от рациональной функции от t и, следовательно, является берущимся.

Интеграл R(x, )dx сводиться к интегралу от рациональной функции с помощью одной из следующих подстановок:

1. Если a0, то = t

2. Если c0, то = tx

3. Если ax²+bx+c = a(x – x₁)·(x – x₂), то = (x – x₁)t.

Здесь t – новая переменная

66. Интегрирование тригонометрических функций

1°. Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

2°. Интегралы вида

где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени

Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)

3°. Если m = -m, n = -l - целые отрицательные числа одинаковой четности, то

В частности, к этому случаю сводятся интегралы

4°. Интегралы вида

где R - рациональная функция от sinx и cosx, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью подстановки при этом Если R{-sin x, cosx) = R(sinx, cosx), то целесообразно применить подстановку tgx = t. при этом

67. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Из геометрического смысла первообразной следует, что производная функции даёт угловой коэффициент касательной к соответствующему графику . Поэтому задача отыскания первообразной для заданной функции равносильна задаче нахождения кривой, для которой закон изменения углового коэффициента известен . Поскольку кривые отличаются друг от друга на постоянную интегрирования, то для того, чтобы из этого множества кривых выбрать одну кривую, достаточно задать точку , через которую кривая должна проходить, т. Е. определить постоянную интегрирования.

Из механического истолкования неопределённого интеграла если задан закон изменения скорости от времени , то зависимость пути S от времени определяется интегралом , т. к. скорость движения точки – это производная . Постоянная интегрирования находится из заданного начального условия, иначе получим бесчисленное множество решений.