53. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть дана некоторая поверхность, A — фиксированная точка поверхности и B — переменная точка поверхности,  — фиксированный вектор.

Обозначим  = (M) — угол между векторами AB и
Ненулевой вектор n ⃗ называется нормальным вектором к поверхности в точке A, если Т очка поверхности F(x,y,z) = 0 называется обыкновенной, если в этой точке частные производные F'x , F'y , F'z непрерывны; (F'x)2 + (F'y)2 + (F'z)2 ≠ 0 . При нарушении хотя бы одного из этих условий точка поверхности называется особой точкой поверхности.
Теорема 1. Если M(x0, y0, z0) — обыкновенная точка поверхности F(x,y,z) = 0 , то вектор =   grad F(x0, y0, z0) = F'x(x0, y0, z0)  + F'y(x0, y0, z0)  +F(x0, y0, z0)

является нормальным к этой поверхности в точке M(x₀, y₀, z₀) .

Нормалью к поверхности в некоторой ее точке называется прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке и которая проходит через эту точку.

Н ормалью к поверхности в точке   называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора  .Уравнение касательной плоскости к поверхности составляем как уравнение плоскости, проходящей через точку  и имеющей известный нормальный вектор:

(3)

анонические уравнения нормали к поверхности   в ее точке   имеют вид:

(4)

Оба уравнения составлены как известные из аналитической геометрии уравнения плоскости и прямой в пространстве.

Касательной плоскостью к поверхности в некоторой точке называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке.

Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости имеет вид: F'x (x0, y0, z0) · (x − x0)   +   F'y (x0, y0, z0) · (y − y0)   +   F'z (x0, y0, z0) · (z − z0) = 0.

Если точка поверхности является особой, то в этой точке нормальный к поверхности вектор может не существовать, и, следовательно, поверхность может не иметь нормали и касательной плоскости.

Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных

Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке a(x₀, y₀) . Ее графиком является поверхность f(x,y) − z = 0.

Положим z₀ = f(x₀, y₀) . Тогда точка A(x₀, y₀, z₀) принадлежит поверхности.

Частные производные функции F(x, y, z) = f(x, y) − z суть

F'_x = f'_x,       F'_y = f'_y,       F'_z = − 1

и в точке A(x₀, y₀, z₀)

1. они непрерывны;

2. F'²_x + F'²_y + F'²_z = f'²_x + f'²_y + 1 ≠ 0 .

Следовательно, A — обыкновенная точка поверхности F(x, y, z) и в этой точке существует касательная плоскость к поверхности. Согласно (3), уравнение касательной плоскости имеет вид: f'_x(x₀, y₀) (x − x₀) + f'_y(x₀, y₀) (y − y₀) − (z − z₀) = 0.

Вертикальное смещение точки на касательной плоскости при переходе из точки a(x₀, y₀) в произвольную точку p(x, y) есть BQ (рис. 2). Соответствующее приращение аппликаты есть (z − z₀) = f'_x(x₀, y₀) (x − x₀) + f'_y(x₀, y₀) (y − y₀).

Здесь в правой части стоит дифференциал dz функции z = f(x,y) в точке a(x₀, x₀). Следовательно,df(x₀, y₀). есть приращение аппликаты точки плоскости касательной к графику функции f(x, y) в точке (x₀, y₀, z₀ = f(x₀, y₀)).

Из определения дифференциала следует, что расстояние между точкой P на графике функции и точкой Q на касательной плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние от точки p до точки a.