2.2. Графический метод решения злп

Графический метод довольно прост и нагляден для решения ЗЛП с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и целевой функции задачи.

Каждое из неравенств ЗЛП определяет на координатной плоскости (x₁, x₂) некоторую полуплоскость (рис.2.1), а система неравенств в целом – пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР).

ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей.

ОДР графически может быть представлена:

1. выпуклым многоугольником,

2. неограниченной выпуклой многоугольной областью,

3. отрезком,

4. лучем,

5. одной точкой.

В случае несовместности системы ограничений задачи ЛП ОДР является пустым множеством.

Целевая функция при фиксированном значении определяет на плоскости прямую линию . Изменяя значения F формируется семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.

Это связано с тем, что изменение значения F повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси x₂ (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой останется постоянным (рис.2.1). Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение F.

Вектор с координатами из коэффициентов целевой функции при x₁ и x₂ перпендикулярен к каждой из линий уровня (рис.2.1).

Направление вектора совпадает с направлением возрастания целевой функции. Направление убывания целевой функции противоположно направлению вектора .

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению или против направления вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки . Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня F_max(F_min), соответствующая наибольшему или наименьшему значению функции F(X). Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР. Например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

При поиске оптимального решения ЗЛП возможны следующие ситуации:

1. существует единственное решение задачи;

2. существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум);

3. целевая функция не ограничена;

4. область допустимых решений – единственная точка;

5. задача не имеет решений.

Рисунок 2.1. Геометрическая интерпретация ограничений и целевой функции ЗЛП

Алгоритм решения задач лп графическим методом

Шаг 1. В системе ограничений ЗЛП заменить знаки неравенств на знаки точных равенств и построить соответствующие прямые.

Шаг 2. Найти и заштриховать полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств ЗЛП. Для этого необходимо подставить в конкретное неравенство координаты какой-либо точки (например, (0;0)), и проверьте истинность полученного неравенства.

Если  неравенство истинное,

то    надо заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку;

иначе (неравенство ложное) надо заштриховать полуплоскость, не содержащую данную точку.

Поскольку x₁ и x₂ должны быть неотрицательными, то их допустимые значения всегда будут находиться выше оси x₁ и правее оси x₂.

Ограничения-равенства разрешают только те точки, которые лежат на соответствующей прямой, поэтому необходимо выделить на графике такие прямые.

Шаг 3. Определить ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделить ее. При отсутствии ОДР задача не имеет решений.

Шаг 4. Если ОДР – не пустое множество, то построить целевую прямую, т.е. любую из линий уровня , где F – произвольное число.

Шаг 5. Построить вектор , который начинается в точке (0;0), заканчивается в точке . Если целевая прямая и вектор построены верно, то они будут перпендикулярны.

Шаг 6. При поиске максимума целевой функции необходимо передвигать целевую прямую в направлении вектора , при поиске минимума целевой функции – против направления вектора . Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой max или min целевой функции. Если такой точки (точек) не существует, то целевая функция не ограничена на множестве планов сверху (при поиске max) или снизу (при поиске min).

Шаг 7. Определить координаты точки max (min) целевой функции и вычислить значение самой целевой функции F(X^*). Для вычисления координат оптимальной точки X^* необходимо решить систему уравнений прямых, на пересечении которых находится X^*.

Пример №2.3.

Найти оптимальное решение задачи №2 о красках, математическая модель которой имеет вид

Решение.

Для построения прямых ограничений необходимо вычислить координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.2.2).

(1) – (2) – (3) –

Прямая (4) проходит через точку x₂ =2 параллельно оси x₁.

Рисунок 2.2. Графическое решение задачи №3

Далее следует определить ОДР. Например, подставив точку (0;0) в исходное ограничение (3), результатом является неравенство , что является истинным. Поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначается полуплоскость, содержащая точку (0;0), т.е. расположенная правее и ниже прямой (3). Аналогично определяются допустимые полуплоскости для остальных ограничений (рис.2.2). Общей областью, разрешенной всеми ограничениями, т.е. ОДР является многоугольник ABCDEF.

Целевую прямую можно построить по уравнению

,

Вектор строится из точки (0;0) и направляется в точку (3;2). Точка Е – это последняя вершина многоугольника допустимых решений ABCDEF, через которую проходит целевая прямая, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е – это точка максимума целевой функции. Координаты точки Е определяются из системы уравнений прямых ограничений (1) и (2)

, ,

Е( ) [т/сутки].

Максимальное значение целевой функции равно

[тыс. руб./сутки].

Ответ.

Наилучшим режимом работы фирмы является ежесуточное производство краски первого вида в объеме т и краски второго вида в объеме т.

Доход от продажи красок составит тыс. руб. в сутки.