24.Сформулируйте транспортную задачу линейного программирования и напишите ее математическую модель

Имеется m-поставщиков продукции и n-потребителей. Каждый поставщик характеризуется мощностью –ai (запас товара), bj-емкость потребителя (потребность в товаре). Имеется таблица тарифов. Cij-тариф (стоимость перевозки единицы продукции от поставщика I к потребителю J).

		Потребители
поставщики		B1	B2	…	Bn
	A1	C11	C12	…	C1n
	A2	C21	C22	…	C2n
	…	…	…	...	…
	An	Cm1	Cm2	…	Cmn

Необходимо составить оптимальный план перевозок товара, имеющий min стоимость. План перевозок представляет собой матрицу X,элементы которой xij – это количество продукции, перевезенной от поставщика i к потребителя j.

Матрица поставок (план перевозок)

X= x11 x12 x1n

x21 x22 x2n

xm1 xm2 xmn

С тоимость перевоза F=C11X1+C12X2+…CmnXn=∑i ∑jCijxij min

Мат. Модель транспортной задачи как ЗЛП

F =∑ijCijxij min

Xij>=0

n

∑xij=ai – для закрытой тр. задачи

J=1

m

∑xij=bj

i=1

25.Методы построения опорного плана транспортной задачи и процедура его улучшения.

26.Решение транспортной задачи методом потенциалов. Критерий оптимальности ее опорного плана (критерий л.В.Канторовича).

Метод потенциалов является методом последовательного улучшения плана, как и симплекс-метод. Его можно использовать для решения закрытой транспортной задачи. Закрытая транспортная задача – такая, в которой суммарная мощность поставщиков равна суммарной емкости потребителей.

m n

∑ai= ∑bj – если это условие выполняется, то это закрытая тр. Задача

i=1 j=1

Если исходная тр. задача не является закрытой (открытая тр. задача), то ее нужно свести к закрытой путем введения фиктивного поставщика или потребителя.

1.Если ∑iai<∑jbj, тогда вводим фиктивного поставщика am+1 с мощностью =

=∑bj -∑ai. Тарифы перевозок для этого поставщика равны 0. Сm+1.1=Cm+1.2=Cm+1.n=0

Нулевая поставка в строке фиктивного поставщика означает недополучение товара соответствующим потребителей.

2.Если ∑iai>∑jbj,тогда вводим фиктивного потребителя bm+1, с емкостью bm+1=∑iai -∑jbj

При использовании метода потенциалов поставщикам и потребителям ставятся в соответствии некоторые числа, к-е называются потенциалами.

Ui-потенциал поставщика I,

Vj-потенциал поставщика J

Сущ-т 2 способа формирования опорного плана: метод северо-западного угла (описан в билете 10) и метод наименьших цен.

1.Первая поставка ставится в клетку с наименьшим тарифом, размер этой поставки max возможный,

2.Следующей заполняются клетки по мере возрастания стоимости.

План перевозок называется оптимальным, если выполняются след. Условия:

1. Xij не= 0, то ui+vj=cij –ст-ть перевозки;

2. Xij=0, то ui+vj<=cij

Для того, чтобы некоторый опорный план транспортной задачи был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы ему соответствовала система из чисел и , удовлетворяющих условиям:

1) , если (для заполненных клеток),

2) (для свободных клеток).

Т.е. если все косвенные стоимости неотрицательные, то решение оптимальное, в противном случае его можно улучшить.

Если данный план перевозок не оптимальный, то в свободную ячейку, которой соответствует наименьшая отрицательная косвенная стоимость , помещают перевозку  и составляют цикл пересчета (замкнутая ломанная линия, состоящая из горизонтальных и вертикальных отрезков прямых, первая вершина которой находится в свободной ячейке с перевозкой , а остальные в базисных (заполненных) ячейках). По циклу пересчета восстанавливается баланс, нарушенный ненулевой перевозкой .