9.Дайте геометрическое истолкование задачи линейного программирования.
Непустое множество планов основной задачи линейного программирования образует выпуклый многогранник. Каждая вершина этого многогранника определяет опорный план. В одной из вершин многогранника решений (т. е. для одного из опорных планов) значение целевой функции является максимальным (при условии, что функция ограничена сверху на множестве планов). Если максимальное значение функция принимает более чем в одной вершине, то это же значение она принимает в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией данных вершин.
10.Как построить первоначальный опорный план задачи линейного программирования и проверить его на оптимальность?
Решение транспортной задачи проводится в два этапа:
1. Определение начального опорного решения – первоначальное распределение поставок.
2. Построение последовательностей итераций, улучшающих опорные планы (каждый новый план перевозок не должен увеличивать суммарные затраты).
После выполнения первого этапа шаги второго этапа проводятся до тех пор, пока не будет найдено оптимальное распределение перевозок.
Существует несколько методов определения начального опорного плана перевозок, среди которых можно выделить метод «северо-западного» угла, метод наименьшей стоимости, метод двойного предпочтения, метод аппроксимаций Фогеля.
Рассмотрим метод «северо-западного» угла (или диагональный метод).
1.Таблица поставок заполняется с верхнего левого угла (ячейка11)
2.Ставятся max возможные поставки
3.По мере заполнения клеток движемся к правому углу (ячейка mn)
Получив начальный опорный план перевозок,
следует проверить его оптимальность
и, если требуется, перейти к новому
опорному плану с лучшим значением
целевой функции. Для этого применяют
метод потенциалов. Каждому ПО 
и
каждому ПН 
сопоставляют
соответственно величины 
и
потенциалы этих
пунктов (
).
План перевозок называется оптимальным, если выполняются след. Условия:
Xij не= 0, то ui+vj=cij –ст-ть перевозки;
Xij=0, то ui+vj<=cij
Используя критерий оптимальности (1) вычисляем потенциалы, при этом 1 из потенциалов берем равными 0, затем вычисляем остальные.
Дальше улучшается план, с помощью перераспределения поставок.
1.Цикл начинается в пустой клетке с max значением ▲,
2.записываем в этой клетке +Õ,
3.все остальные величины цикла должны располагаться в заполненных клетках; двигаться можно только по строкам и столбцам таблицы; в каждой строке/столбце д.б. только 2 величины цикла, цикл д.б. замкнутым,
4.увеличение и уменьшение поставки в вершинах цикла чередуются,
5.вершина Õ определяется min значением X среди вершин цикла, в к-х поставка уменьшается.
11.Перечислите условия оптимальности опорного плана задачи линейного программирования на отыскание минимального и максимального значений целевой функции.
Пусть требуется найти максимальное значение функции
при условиях
Здесь 
и 
–
заданные постоянные числа 
Векторная форма данной задачи имеет следующий вид: найти максимум функции
(22)
при условиях
(23)
(24)
где
Так как
то по определению опорного плана 
является
опорным планом данной задачи
(последние 
компонент
вектора Х равны нулю). Этот план
определяется системой единичных векторов 
которые
образуют базис m-мерногопространства.
Поэтому каждый из векторов
а
также вектор
могут
быть представлены в виде линейной
комбинации векторов данного базиса.
Пусть
Положим 
Так
как векторы 
– единичные,
то 
и
а
Теорема
(признак
оптимальности опорного плана). Опорный
план 
задачи (22)
– (24) является оптимальным, если 
для
любого j 
Теорема
Если 
для некоторого j=k и
среди чисел 
нет
положительных 
, то
целевая функция (22) задачи (22) –
(24) не ограничена на множестве ее
планов.
Теорема
Если
опорный план Х задачи (22) –
(24) невырожден и
, но среди
чисел 
есть
положительные (не все 
),
то существует опорный план X' такой,
что 
Сформулированные теоремы позволяют проверить, является ли найденный опорный план оптимальным, и выявить целесообразность перехода к новому опорному плану.