20.Математическая модель несимметричной двойственной задачи.
Если в системе ограничений задачи имеется хотя бы одно равенство, то двойственная задача называется несимметричной и у переменной, сопряженной с равенством снимается ограничение по знаку.
Исходная задача:
A11x1+a12x2<=b1
A21x1+a22x2=b2
A31x1+a32x2<=b3
X1>=0, x2>=0
Несимметричная двойственная задача:
F =c1x1+c2x2 max g=b1y1+b2y2+b3y3
A11x1+a12x2<=b1 y1>=0
A21x1+a22x2=b2 y2-любой знак
A31x1+a32x2<=b3 y3>=0
X1>=0 a11y1+a21y2+a31y3>=c1
x2>=0 a12y1+a22y2+a32y3>=c2
21.Как по решению исходной (двойственной) задачи найти решение двойственной (исходной) задачи? Как проверить оптимальность полученных решений?
Если решить одну из двойственных задач, то на основании теорем двойственности можно сделать вывод о существовании или отсутствии решения другой задачи. При этом возможны три случая решения для каждой задачи
Обе задачи имеют оптимальный план
В задаче 1 планы есть, но целевая функция не ограничена сверху на множестве планов, значит оптимального плана не существует
В задаче 2 вообще нет планов, а значит, нет и оптимального плана
3. И наоборот
Если же решена задача 2, то аналогичные выводы можно сделать для двойственной ей задачи
При решении одной из двойственных задач симплекс—методом в тех же симплексных таблицах одновременно преобразовывается и другая задача. Если решенная задача имеет оптимальный план, который содержится в столбце свободных членов последней симплекс – таблице, то и двойственная задача имеет оптимальный план, и он содержится в индексной строке последней симплексной таблицы решенной задачи.
Правильность найденных оптимальных планов можно проверить с помощью критериев оптимальности планов двойственных задач.
Первый критерий
Для того, чтобы план X одной из двойственных задач был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы существовал план Y другой задачи, такой что згачения целевых функций для этих планов равны, то есть f(X)=g(Y)
Второй критерий
Для того, чтобы план Х одной их двойственных задач был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы существовал план Y другой задачи, такой, что в каждой паре сопряженных неравенств строгому неравенству соответствовало бы равенство, то есть хотя бы одно из пары сопряженных неравенств должно выполняться как равенство.
22.Алгоритм двойственного симплекс – метода.
Алгоритм двойственного симплекс-метода отличается от алгоритма обычного симлпекс-метода процедурой формирования базиса, а именно в начале выбирается ключевая строка (та, у к-й в плане самое отриц.число), а затем ключевой столбец. Для двойственного симплекс-методов допустимо поместить в табл. неканоническую форму, таблицу получив при этом базис.
23.Критерии оптимальности планов пары двойственных задач линейного программирования.
Первый критерий
Для того, чтобы план X одной из двойственных задач был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы существовал план Y другой задачи, такой что згачения целевых функций для этих планов равны, то есть f(X)=g(Y)
Второй критерий
Для того, чтобы план Х одной их двойственных задач был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы существовал план Y другой задачи, такой, что в каждой паре сопряженных неравенств строгому неравенству соответствовало бы равенство, то есть хотя бы одно из пары сопряженных неравенств должно выполняться как равенство