6.Алгоритм симплекс-метода.

1.Запишем каноническую задачу максимизации (4)-(6) в исходную симплексную таблицу и проанализируем знаки элементов индексной строки, не считая элемента C0. При этом возможны 3 случая.

1.1. Все элементы индексной строки неотрицательны. Следовательно, базисный план Xbas=(0,0,b1,b2) яв-ся оптимальным, а f (Xbas)=C0 есть max значение целевой функции. Вычисления заканчиваем.

1.2. Среди элементов индексной строки есть хотя бы 1 отрицательный, а над ним в таблице нет ни одного положительного. В этом случае целевая ф-я не ограниченна сверху на множестве планов задачи и оптимального плана не сущ-т. Вычисления прекращаем.

1.3. Над каждым отрицательным элементом индексной строки есть хотя бы 1 положительный. Это значит, что исходный базис можно улучшить, построив новую симплекс-таблицу, содержащую новый базисный план с неменьшим значением целевой ф-ии.

2.Среди отриц. Элементов индексной строки, над каждым из к-х есть хотя бы 1 положительный, выбираем наибольший по абсолютной величине и выделяем ключевой столбец, в основании к-го оказался выбранный элемент. Ключевой столбец указывает на неизвестное, вводимое в базис.

3. Посчитаем ключевое отношение – наименьшее из отношений свободных членов ур-й только к соответствующим положительным элементам ключевого столбца.

4.В ключевом столбце выбираем и выделяем ключевой элемент – знаменатель ключевого отношения. Если ключевых отношений несколько, то выбираем знаменатель любого из них. Ключевой элемент указывает на неизвестные, выводимое из базиса.

5. В новой таблице вписываем слева новые базисные неизвестные.

6.Заполняем и выделяем ключевую строку. Она получается делением всех элементов соотв. Строки исходной таблицы на ключевой элемент.

7. Остальные элементы новой таблицы считаем по правилу 2-х перпендикуляров: каждый элемент новый таблицы, за искл. элементов ключевой строки, равен разности между соответствующим элементом исходной таблицы и произведением элементов, оказавшихся в основаниях перпендикуляров, опущенных из «старого» элемента на ключевой столбец и ключевую строку.

7.Сформулируйте общую задачу линейного программирования и напишите ее математическую модель.

Общая задача линейного программирования состоит в максимизации (или минимизации) линейной функции

Дана система m линейных уравнений и неравенств с n переменными.

И линейная функция

Необходимо найти такое решение системы ограничений , где

При котором целевая функция L принимает оптимальное(max или min) значение

Система уравнений может состоять из одних уравнений

В этом случае задача линейного программирования называется канонической.

8.Дайте определение плана, невырожденного и вырожденного опорного плана, оптимального плана.

Планом задачи (1)-(3)линейного программирования называется всякое неотрицательное решение системы линейных ограничений (1), то есть план – это вектор X=(x1,x2, ….xn),удовлетворяющий условиям (1) и (2).

План X* называется оптимальным планом задачи максимизации (max)/минимизации (min),если f(X*)>=f(X), (f(X*)<=f(X)), где X- любой план задачи.

Оптимальный план это такой план системы линейных ограничений (1), при котором целевая функция (3) примет наибольшее или наименьшее значение.

План  называется опорным планом, основной задачи линейного программирования, если система векторов  , входящих в разложение с положительными коэффициентами  линейно независима.

Так как векторы  являются m-мерными, то из определения опорного плана следует, что число его положительных компонент не может быть больше, чем т.

Опорный план называется невырожденным, если он содержит ровно т положительных компонент, в противном случае он называется вырожденным. Опорный план называется вырожденным, если число ненулевых перевозок меньше и n+m-1, опорный план - невырожден, если число ненулевых перевозок равно n+m-1.

Свойства основной задачи линейного программирования , , F=CX тесным образом связаны со свойствами выпуклых множеств.

Где  ,  CX – скалярное произведение;  и  – m-мерные вектор-столбцы, составленные из коэффициентов при неизвестных и свободных членах системы уравнений задачи: