16.Алгоритм симплекс-метода см.№6
17.Алгоритм решения м-задачи.
В М – задаче искусственный базис вводится в целевую функцию с коэффициентом –М,если задача – max и +М , если задача min,где M много больше 0
При решении задачи симплекс методом, буква М записывается в строку цен.
Пример
18.Разрешимость основной задачи линейного программирования в терминах вспомогательной задачи с искусственным базисом.
Рассмотрим стандартную задачу min. Система ограничений имеет вид:
a11x1+a12x2+…a1nxn>=b1
a21x1+a22x2+…a2nxn>=b2
Ц елевая функция f=c1x1+c2x2+cnxn min
a11x1+a12x2+…a1nxn-xn+1=b1
xn+1- не является базисом из-за минуса.
Составим расширенное ур-е вводя искусственную переменную z1,
a11x1+a12x2+…a1nxn+xn+1+z1=b1
am1x1+am2x2+…amnxn+xn+m+zm=bm
Это расширенная каноническая задача имеющий искусственный базис (z1,z2,zm)
Если исходная ЗЛП не стандартная задача min, то базис мб смешанный (искусственных базис переменных будет меньше, чем ур-й)
19.Математическая модель симметричной двойственной задачи.
Парой симметричных двойственных задач называют две, тесно связанные между собой задачи ЛП, которые удобно записать в схематическом виде.(см. ниже). Задача ЛП, в которой целевая функция максимизируется, а все неравенства «типа≤» называется стандартной задачей максимизации, а если целевая функция минимизируется, а все неравенства «типа≥» - стандартной задачей минимизации. Пара симметрических двойственных задач состоит из стандартной задачи максимизации и максимизации, причем эти задачи обладают рядом особенностей, которые хорошо видны в схеме и позволяют сформулировать правила составления двойственных задач.
Задача 1 Задача 2
При условиях: При условиях:
0
0
0
0
0
Правила составления пары симметричных двойственных задач.
1.Одна из задач является стандартной задачей максимизации , а другая минимизации
2. Количество неизвестных в одной из задач равно количеству основных ограничений в другой задаче
3. Матрица коэффициентов при неизвестных в неравенствах одной задачи получается транспортированием матрицы коэффициентов другой задачи
4. Свободные члены неравенств одной задачи совпадают с коэффициентами целевой функции другой задачи.
Если решить одну из двойственных задач, то на основании теорем двойственности можно сделать вывод о существовании или отсутствии решения другой задачи. При этом возможны три случая решения для каждой задачи
Обе задачи имеют оптимальный план
В задаче 1 планы есть, но целевая функция не ограничена сверху на множестве планов, значит оптимального плана не существует
В задаче 2 вообще нет планов, а значит, нет и оптимального плана
3. И наоборот
Если же решена задача 2, то аналогичные выводы можно сделать для двойственной ей задачи 1.
При решении одной из двойственных задач симплекс—методом в тех же симплексных таблицах одновременно преобразовывается и другая задача. Если решенная задача имеет оптимальный план, который содержится в столбце свободных членов последней симплекс – таблице, то и двойственная задача имеет оптимальный план, и он содержится в индексной строке последней симплексной таблицы решенной задачи.