Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика»,
раздел «Методы оптимизации»
Математическое моделирование простейшей экономической ситуации: задача о планировании оптимального выпуска видов изделий при заданных ценах и ограничениях на ресурсы.
Основные определения: понятие целевой функции, плана, оптимального плана.
Графический метод решения задачи линейного программирования. Область допустимых планов, градиент, линии постоянного уровня, угловые точки, оптимальный план.
Классификация задач линейного программирования: Общая задача, основная и каноническая.
Симплексный метод решения канонической задачи. 1-ая симплексная таблица и расчет элементов индексной строки.
Алгоритм симплекс-метода.
Сформулируйте общую задачу линейного программирования и напишите ее математическую модель.
Дайте определение плана, невырожденного и вырожденного опорного плана, оптимального плана.
Дайте геометрическое истолкование задачи линейного программирования.
Как построить первоначальный опорный план задачи линейного программирования и проверить его на оптимальность?
Перечислите условия оптимальности опорного плана задачи линейного программирования на отыскание минимального и максимального значений целевой функции.
Как определяется вектор для включения в базис, если первоначальный план не является оптимальным? Как определить вектор, подлежащий исключению из базиса?
Какая переменная называется базисной? Какая переменная называется искусственной, как она вводится в систему ограничений и в целевую функцию?
Сформулируйте задачу использования ресурсов и напишите ее математическую модель.
Сформулируйте задачу составления рациона и напишите ее математическую модель.
Алгоритм симплекс-метода.
Алгоритм решения М-задачи.
Разрешимость основной задачи линейного программирования в терминах вспомогательной задачи с искусственным базисом.
Математическая модель симметричной двойственной задачи.
Математическая модель несимметричной двойственной задачи.
Как по решению исходной (двойственной) задачи найти решение двойственной (исходной) задачи? Как проверить оптимальность полученных решений?
Алгоритм двойственного симплекс – метода.
Критерии оптимальности планов пары двойственных задач линейного программирования.
Сформулируйте транспортную задачу линейного программирования и напишите ее математическую модель.
Методы построения опорного плана транспортной задачи и процедура его улучшения.
Решение транспортной задачи методом потенциалов. Критерий оптимальности ее опорного плана (критерий Л.В.Канторовича).
Матричная игра двух сторон с нулевой суммой. Чистые, смешанные, оптимальные стратегии, цена игры.
тТочные формулы решения игры в терминах решений вспомогательной пары двойственных задач линейного программирования (теорема Неймана).
Доминирование строк и столбцов платежной матрицы и решение игры после упрощения матрицы.
Сформулируйте задачу целочисленного программирования и напишите ее математическую модель.
Метод отсечение Гомори – нахождение целочисленного оптимального плана задачи линейного программирования, построение дополнительного ограничения (неравенства Гомори)
Алгоритм решения задачи дискретного программирования методом ветвей и границ на примере решения задачи коммивояжера.
Задача о кратчайшем пути на графе, алгоритм Форда (Дейкстры).
Задача о максимальном потоке в сети, алгоритм Форда – Фалкерсона.
Сетевое планирование, нахождение критического пути в сети.
Динамическое программирование.
Математическое моделирование простейшей экономической ситуации: задача о планировании оптимального выпуска видов изделий при заданных ценах и ограничениях на ресурсы.
Линейное программирование – это раздел математики, содержаний исследования и отыскания наибольшего и наименьшего значений линейной ф-ии (целевой), на переменные которой накладываются линейные ограничения.
Общий вид модели ЗЛП
max/min
Где, Х1…Хn – переменны (к-во продукции)
Сi- коэф-ты (с эконом. точки зр. - цена)
Хi≥0
Система технологических ограничений (ограничения по сырью, требования к рациону)
……………………………………………………
-
техн. норма на единицу продукции
Простейшие экономическая модель Пример:
Задача использования сырья – для изготовления продукции вида Р1,Р2…Рn, используется m-видов сырья S1,S2…Sm. Расход каждого вида сырья на изготовление 1 ед. каждого вида продукции задан таблицей
Запас
…
Количество сырья в запасе -
Запас -
Стоимость ед. продукц. -
Цена -
Xj – количество продукц., которое необходимо найти.
Необходимо составить оптимальный план производства, позволяющий получение max. прибыли в рамках существующих ограничений.
1
)
max.
2) Xj≥0, (j=1,2…n)
3)
……………………………………
Эта стандартная задача максимизации (в системе ограничений 3. знак≤)
2.Основные определения: понятие целевой функции, плана, оптимального плана.
Дана система m линейных ограничений с n неизвестными (система может содержать как уравнения, так и/или неравенства того или иного знака).
a11x1+a12x2+…+a1nxn<=b1,
a21x1+a21x2+…+a2nxn>=b2, (1)
………………………………
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,
Условие не отрицательности неизвестных
x1>=0,x2>=0,…,xn>=0 (2)
и целевая линейная функция, зависящая от неизвестных, F(x)=c1x1+c2x2+…+c2xn (3)
где X=(x1,x2, ….xn) - вектор неизвестных.
Наибольшее и наименьшее значение линейной функции называется целевая функция.
Планом задачи (1)-(3)линейного программирования называется всякое неотрицательное решение системы линейных ограничений (1), то есть план – это вектор X=(x1,x2, ….xn),удовлетворяющий условиям (1) и (2).
План X* называется оптимальным планом задачи максимизации (max)/минимизации (min),если f(X*)>=f(X), (f(X*)<=f(X)), где X- любой план задачи.
Оптимальный план это такой план системы линейных ограничений (1), при котором целевая функция (3) примет наибольшее или наименьшее значение.
Решить задачу ЛП-значит найти ее оптимальный план и подсчитать max/min значение целевой функции.
3.Графический метод решения задачи линейного программирования. Область допустимых планов, градиент, линии постоянного уровня, угловые точки, оптимальный план
Геометрическая интерпретация экономических задач дает возможность наглядно представить, их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств
Область допустимых значений – заданные условия задачи
Градиент - вектор, указывающий направление наибыстрейшего роста функции
Линия уровня – перпендикулярна вектору градиента
Угловые точки - вершины углов фигуры решения
Оптимальный план – множество решений - фигура решений.
Рассмотрим задачу ЛП симметричного вида относительно 2 переменных:
Геометрическая интерпретация области допустимых значений
1.Любое из неравенств 1.14 на плоскости
определяет некоторую плоскость.2. Система неравенств 1.14-1.15 определяет выпуклое множество (многоугольник, неограниченную выпуклую многоугольную плоскость, пустую область или точку), которое совпадает с многогранником решений D.
Геометрическая интерпретация целевой функции
Уравнение
при фиксированном значении
определят на плоскости
прямую
При изменении z получает семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня
Вектор коэффициентов целевой функции
называется градиентом функции. Он
перпендикулярен линиям уровня.Градиент функции показывает направление наименьшего возрастания целевой функции.
Антиградиент
показывает
направление наибольшего убывания
целевой функции.
Графическое решение задач линейного программирования
Суть графического метода решения задач ЛП основывается на следующих пунктах:
Совокупность опорных планов задачи ЛП совпадает с системой вершин многогранника решений.
Целевая функция достигает оптимального значения в вершине многогранника решений
Пример построения
.