- •Математическое моделирование простейшей экономической ситуации: задача о планировании оптимального выпуска видов изделий при заданных ценах и ограничениях на ресурсы.
- •2.Основные определения: понятие целевой функции, плана, оптимального плана.
- •3.Графический метод решения задачи линейного программирования. Область допустимых планов, градиент, линии постоянного уровня, угловые точки, оптимальный план
- •4.Классификация задач линейного программирования: Общая задача, основная и каноническая.
- •5.Симплексный метод решения канонической задачи. 1-ая симплексная таблица и расчет элементов индексной строки.
- •6.Алгоритм симплекс-метода.
- •7.Сформулируйте общую задачу линейного программирования и напишите ее математическую модель.
- •8.Дайте определение плана, невырожденного и вырожденного опорного плана, оптимального плана.
- •9.Дайте геометрическое истолкование задачи линейного программирования.
- •10.Как построить первоначальный опорный план задачи линейного программирования и проверить его на оптимальность?
- •11.Перечислите условия оптимальности опорного плана задачи линейного программирования на отыскание минимального и максимального значений целевой функции.
- •12. Как определяется вектор для включения в базис, если первоначальный план не является оптимальным? Как определить вектор, подлежащий исключению из базиса?
- •13. Какая переменная называется базисной? Какая переменная называется искусственной, как она вводится в систему ограничений и в целевую функцию?
- •14.Сформулируйте задачу использования ресурсов и напишите ее математическую модель.
- •15.Сформулируйте задачу составления рациона и напишите ее математическую модель.
- •16.Алгоритм симплекс-метода см.№6
- •17.Алгоритм решения м-задачи.
- •18.Разрешимость основной задачи линейного программирования в терминах вспомогательной задачи с искусственным базисом.
- •19.Математическая модель симметричной двойственной задачи.
- •20.Математическая модель несимметричной двойственной задачи.
- •21.Как по решению исходной (двойственной) задачи найти решение двойственной (исходной) задачи? Как проверить оптимальность полученных решений?
- •22.Алгоритм двойственного симплекс – метода.
- •23.Критерии оптимальности планов пары двойственных задач линейного программирования.
- •24.Сформулируйте транспортную задачу линейного программирования и напишите ее математическую модель
- •25.Методы построения опорного плана транспортной задачи и процедура его улучшения.
- •26.Решение транспортной задачи методом потенциалов. Критерий оптимальности ее опорного плана (критерий л.В.Канторовича).
- •27.Матричная игра двух сторон с нулевой суммой. Чистые, смешанные, оптимальные стратегии, цена игры.
- •29.Доминирование строк и столбцов платежной матрицы и решение игры после упрощения матрицы.
- •30. Сформулируйте задачу целочисленного программирования и напишите ее математическую модель.
- •31.Метод отсечение Гомори – нахождение целочисленного оптимального плана задачи линейного программирования, построение дополнительного ограничения (неравенства Гомори)
- •32.Алгоритм решения задачи дискретного программирования методом ветвей и границ на примере решения задачи коммивояжера.
- •Задача о кратчайшем пути на графе, алгоритм Форда (Дейкстры).
- •34.Задача о максимальном потоке в сети, алгоритм Форда – Фалкерсона
- •35. Сетевое планирование, нахождение критического пути в сети.
4.Классификация задач линейного программирования: Общая задача, основная и каноническая.
Задача ЛП – общая задача, если система линейных ограничений (1) содержит, хотя бы одно неравенство.
Основная задача ЛП - если все ограничения системы являются уравнениями.
Задача ЛП будем называть канонической задачей, если она является частным случаем основной задачи в том смысле, что система линейных уравнений - каноническая, а целевая функция выражена только через свободные неизвестные. Неизвестные, не являющиеся базисными, называются свободными неизвестными.
Признаки канонической задачи:
1.Все выражения в системе ограничений должны быть уравнениями;
2.В правой части выражений в системе ограничений должны быть неотрицательными (bi>=0).
3.В каждом уравнении должна быть базисная - разрешенная переменная. Это та переменная, которая содержится только в одном уравнении с коэффициентом +1.
Каноническая задача:
a11x1+a12x2+x3=b1>=0,
a21x1+a21x2 +x4=b2>=0, (4)
xj>=0 (xj=1:4), (5)
f(X)= C0-C1x1-C2x2-max (min). (6)
Если в канонической системе положить все свободные неизвестные равные 0, то базисные неизвестные будут равны неотрицательным свободным членам уравнений. Полученный таким способом план называется базисным планом канонической задачи. При x1=x2=0 из системы (4) получим, что x3=b1>=0, x4=b2>=0 и базисный план задачи (4)-(6) будет иметь вид:
Xbas=(0,0,b1,b2), причем как видно из выражения (6), значение целевой функции для этого плана f(Xbas)=C0.
Алгоритм симплекс-метода непосредственно применяется к канонической задаче, а общая и основная задача сводятся к ней.
Для того чтобы общую задачу привести к основной, т.е. неравенства заменить ур-ми, достаточно ввести неотрицательные дополнительные неизвестные, прибавив их к левым частям неравенств «типа <=», вычтя из левых частей неравенств «типа >=» и приписав к заданной целевой функции с нулевыми коэффициентами.
Основная задача сводится к одной или двум каноническим, решаемым непосредственно одна за другой, с помощью метода искусственного базиза.
5.Симплексный метод решения канонической задачи. 1-ая симплексная таблица и расчет элементов индексной строки.
Симплекс – это метод последовательного улучшения плана.
Для начала работы необходимо создать опорный план. Для его формирования используется каноноческая задача, в которой свободным переменным присваиваются нули.
На первом этапе симплекс-метода формируется симплекс- таблица
Правило вычисления элементов индексной строки:
Элемент индексной строки равен скалярному произведению соответствующего столбца на столбец цен слева минус цена сверху.
Элемент индексной строки указывает на то, является ли план оптимальным или нет.
Если решение задачи -max, то план будет оптимальным, если все числа индексной строки больше 0. Если они меньше 0, то необходимо выяснить можно ли его улучшить. Для этого выбирается самый отрицательный элемент строки и, если в его столбце есть хотя бы одно число больше 0, то план можно улучшить, если они ≤ 0, то улучшить нельзя.
Пример.