Исходные параметры:

Задача №11 (нелинейная)

_{Интервал:}

Eps	Шаг	Ошибка численного решения
		Явн. Эйлера	РК4
1е-2	5e-2	Останов	Останов
	3e-2	Останов	2е+0
	2е-2	2е+0	8е-4
	1е-2	1е-2	2е-5
	1е-3	1е-3	1е-9
	1е-4	1е-4	3е-9
1е-3	5e-3	Останов	Останов
	4e-3	Останов	3е+0
	3e-3	3е+0	2е+0
	1е-3	1е-3	2е-7
	1е-4	1е-4	3е-9

Исследование эффективности явных методов при интегрировании жёстких задач показало, что жёсткость задачи ограничивает свободу выбора шага интегрирования: чем более жёсткая задача (т.е. чем меньше значение eps), тем меньше становится максимально допустимая величина шага, при которой вычислительная схема остаётся устойчивой. Следует также отметить, что погрешность рассматриваемых методов во многих случаях была значительно больше, чем . Полученные результаты можно объяснить, исходя из определения жёсткой задачи, а именно недостаточной величиной шага для описания функции в области её быстрого изменения.

б) Исследование возможности и условий интегрирования задачи неявными методами с большим

и постоянным шагом (метод трапеции);

Исходные параметры:

Задача №4 (линейная)

_{Интервал:}

Метод: трапеции по схеме П(ВК)

;

Еps	Шаг
	Успешное интегрирование	Останов (плохая сходимость на этапе коррекции)	Останов (неустойчивость вычис- лительной схемы)
1е-2	1е-2	2е-2	не был достигнут
1е-3	1е-3	2е-3	4е-3
1е-4	1е-4	2е-4	6е-4

Исходные параметры:

Задача №11 (нелинейная)

Интервал:

Метод: трапеции по схеме П(ВК)

Еps	Шаг
	Успешное интегрирование	Останов (плохая сходимость на этапе коррекции)	Останов (неустойчивость вычис- лительной схемы)
1е-2	7е-3	6е-3	1е-3
1е-3	1е-3	2е-3	9е-3
1е-4	2е-4	3е-4	1е-3

Экспериментальные данные показывают, что для метода трапеции по схеме П(ВК) с увеличением жёсткости задачи (уменьшением параметра eps) максимальный шаг, при котором успешное интегрирование ещё возможно, уменьшается. Это связано с тем, что при увеличении жёсткости функция изменяется более динамично в области своего быстрого изменения – поэтому требуется более точное описание процесса, которое и достигается уменьшением шага интегрирования.

Причинами остановов при интегрировании становились либо неустойчивость вычислительной схемы, либо при меньших значениях шага, когда устойчивость всё же достигалась – плохая сходимость метода на этапе коррекции. Таким образом, можно утверждать, что эксперимент подтвердил теоретические сведения: интегрирование жёстких задач возможно для тех методов, которых выполняются условия жёсткой устойчивости, т.е. метод является абсолютно устойчивым при больших значениях ( - собственные числа матрицы задачи) и достаточно точным при малых. Это условие верно, в частности, и для метода трапеций по схеме П(ВК).

Для обеих задач при тех же параметрах был исследован метод трапеции по схеме ПК и итерациями Ньютона – было установлено, что жёсткость не накладывает ограничений на шаг для данного метода. Это связано с тем, что данный метод выполняет итерационный процесс до сходимости – поэтому проблемы неустойчивости и плохой сходимости «перед ним не встают».

в) Сравнить эффективность применения метода Гира второго порядка и метода трапеции.