- •Сравнение естественного и стандартного чисел обусловленности матрицы а также - точного значения стандартного числа обусловленности с его оценкой, вычисленной процедурой decomp:
- •Исследовать возможность улучшения обусловленности задачи посредством внесения малого случайного возмущения в матрицу системы.
- •7 Повторить эксперимент п.6 для 2-3 задач с плохо обусловленной матрицей.
- •8 Выполняя п.П. 6 и 7 , исследовать работоспособность различных методов оценки ошибок решения ( выражения (7), (12), (13) ) при наличии возмущения левой части системы.
- •Исходные параметры:
- •Исходные параметры:
- •Исходные параметры:
- •Исходные данные:
- •Исходные данные:
- •Провести исследование влияния вида доминирования матрицы задачи на сходимость процедур Якоби и Гаусса-Зейделя.
- •Исходные данные:
- •Исходные параметры:
- •Исходные параметры:
- •Исходные параметры:
- •Исходные параметры:
- •Исходные параметры:
- •Исходные параметры:
- •Исходные параметры:
- •Исследовать устойчивость решения задачи среднеквадратичного приближения к погрешности исходных данных.
- •Исходные параметры:
- •Убедиться в справедливости условий чебышевского интерполирования.
- •Исходные параметры:
- •При интегрировании нескольких систем нелинейных уравнений обратить внимание на эффективность различных методов реализации схемы прогноз-коррекция.
- •Исходные параметры:
- •Исходные параметры:
- •При интегрировании жёстких задач:
- •Исходные параметры:
- •Исходные параметры:
- •Исходные параметры:
- •Исходные параметры:
- •Исходные параметры:
- •Исходные параметры:
- •Исходные параметры:
- •Исходные параметры:
- •Дополнительное исследование метода релаксации:
Исходные параметры:
Задача №4 (линейная)
Интервал:
Максимально допустимое время интегрирования: 180 сек
;
Ерs |
Установ-ленная точность
|
Метод Гира (2-ого порядка) |
Метод трапеций по схеме ПК с итер. Ньютона |
|||
Фактическая точность |
Время, с |
Фактическая точность |
Время, с |
|||
1е-4 |
1е-3 |
3е-3 |
3 |
2е-7 |
30 |
|
1е-5 |
5е-4 |
3 |
- |
>180 |
||
1е-7 |
2е-5 |
5 |
- |
>180 |
||
1е-10 |
4е-7 |
18 |
- |
>180 |
||
1е-12 |
2е-7 |
21 |
- |
>180 |
||
1е-5 |
1е-3 |
4е-9 |
3 |
3е-11 |
118 |
|
1е-5 |
2е-10 |
4 |
- |
>180 |
||
1е-7 |
2е-9 |
7 |
- |
>180 |
||
1е-10 |
6е-10 |
17 |
- |
>180 |
||
1е-12 |
8е-10 |
20 |
- |
>180 |
||
1е-6
|
1е-3 |
2е-8 |
2 |
- |
>180 |
|
1е-5 |
3е-10 |
3 |
- |
>180 |
||
1е-7 |
4е-9 |
5 |
- |
>180 |
||
1е-10 |
5е-10 |
15 |
- |
>180 |
||
1е-12 |
6е-10 |
20 |
- |
>180 |
* - Для сохранения работоспособности программы и продолжения исследования интервал был изменён.
Исходные параметры:
Задача №11 (нелинейная)
Интервал:
Ерs |
Установ-ленная точность
|
Метод Гира (2-ого порядка) |
Метод трапеций по схеме ПК с итер. Ньютона |
|||
Фактическая точность |
Время, с |
Фактическая точность |
Время, с |
|||
1е-4 |
1е-3 |
1е-3 |
1 |
6е-5 |
4 |
|
1е-5 |
1е-4 |
2 |
1е-6 |
20 |
||
1е-7 |
7е-6 |
7 |
- |
>180 |
||
1е-10 |
6е-7 |
14 |
- |
>180 |
||
1е-12 |
5е-7 |
18 |
- |
>180 |
||
1е-8 |
1е-3 |
1е-3 |
1 |
6е-5 |
4 |
|
1е-5 |
1е-4 |
2 |
1е-6 |
20 |
||
1е-7 |
7е-6 |
7 |
- |
>180 |
||
1е-10 |
5е-7 |
14 |
- |
>180 |
||
1е-12 |
5е-7 |
18 |
- |
>180 |
Экспериментальные данные показывают, что рассматриваемые методы с разной скоростью достигают одной фактической точности: метод Гира 2-ого порядка во много раз превосходит по скорости метод трапеций по схеме ПК с итерациями Ньютона. К тому же, в данном эксперименте метод Гира точность, отличающуюся от заданной не более, чем на порядок. Таким образом, можно заключить, что метод Гира 2-ого порядка с возможностью регулирования точности является более предпочтительным для решения жёстких задач, чем метод трапеций по схеме ПК с итерациями Ньютона и регулируемой точностью.
Решение нелинейных уравнений методами Ньютона, секущих и релаксации.
Исходные параметры:
- решение уравнения ;
- интервал;
- точность;
Расчёты прочих условий:
Проверка условий сходимости:
1) Метод Ньютона:
- условие квадратичной сходимости. При данных исходных параметрах – выполняется.
Для данной функции метод сходится .
2) Метод релаксации:
№ итерации
|
М Е Т О Д |
||||||
Релаксации
|
Секущих
|
Ньютона
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
-1 |
- |
- |
0.5 |
-0.35 |
- |
- |
|
0 |
0.5 |
-0.35 |
1 |
0.6 |
0.5 |
-0.35 |
|
1 |
0.67284 |
-0.13881 |
0.68421 |
-0.12124 |
0.86842 |
0.24004 |
|
2 |
0.74139 |
-0.02503 |
0.73729 |
-0.03237 |
0.76794 |
0.02428 |
|
3 |
0.75375 |
-0.00244 |
0.75663 |
0.00291 |
0.75526 |
0.00035 |
|
4 |
0.75496 |
-0.00020 |
0.75503 |
-6.0828е-5 |
0.75507 |
7.7565e-8 |
|
5 |
0.75506 |
-1.6694e-5 |
0.75507 |
-1.1056е-7 |
|
|
|
Трудо- ёмкость
|
S=7 |
S=6 |
S=8 |
Примечание: пусть i – число потребовавшихся итераций, S – трудоёмкость процесса. Для метода релаксации S=i+2, т.к. до начала итерационного процесса требуется двукратное вычисление значения производной для определения параметра релаксации. Для метода секущих S=i+1, т.к. до начала итерационного процесса вычисляется значение функции в точке . Для метода Ньютона S=2*i, т.к. на каждом шаге вычисляется значение функции и значение производной.