Исходные параметры:

_{Интервал:}

№ задачи	Шаг	Ошибка численного решения
№ задачи	Шаг	Явн. Эйлера	Неявн. Эйлера	РК2	РК3	РК4
2	1e-1	3е-1	1е-1	8е-2	2е-2	3е-3
2	1e-2	1е-2	1е-2	4е-4	9е-6	2е-7
13	1e-1	2е-1	2е-1	7е-3	2е-4	3е-6
13	1e-2	3е-3	3е-3	1е-4	2е-7	5е-10

Погрешности методов Эйлера ведут себя как , погрешности методов Рунге-Кутты - как ( - порядок метода). Поэтому методы Рунге-Кутты показали большую, чем методы Эйлера, точность. Также, можно заключить, что при неизменном порядке метода с уменьшением шага (при ) увеличивается точность решения; а при неизменном шаге (снова при ) большую точность показывает метод большего порядка.

Качественное поведение погрешности решений для методов не отличается – различие лишь в гладкости (в зависимости от шага) и величине ошибки (в зависимости от порядка метода) –

об этом свидетельствуют приложения 2а и 2б.

Полученные результаты можно объяснить схожестью вычислительных схем: методы явные и неявные Рунге-Кутты фактически представляют собой «модернизацию» явных и неявных методов Эйлера (в эксперименте исследовались лишь явные методы Рунге-Кутты). Действительно, явную схему Эйлера можно представить как , где ; аналогичное можно утверждать и для неявного метода Эйлера, заменив на . Таким образом, методы Эйлера можно условно назвать методами Рунге-Кутты первого порядка, чем и объясняются полученные результаты.

При интегрировании жёстких задач:

а) получить экспериментальные характеристики эффективности явных методов (РК4, явный Эйлера);

б) установить возможность и условия интегрирования задачи неявными методами с (метод трапеции);

в) сравнить эффективность применения метода Гира второго порядка и метода трапеции

а) Исследование эффективности явных методов.