22. Решетка (структура). Решетка как частично упорядоченное множество.

Решетка, структура, — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.

Примеры решеток:

1) множество всех подмножеств данного множества, упорядоченное по включению;

2) всякое линейно упорядоченное множество; причем если a £b, то sup{a, b} = b, а inf {a, b} = a;

3) множество всех надпространств векторного пространства, упорядоченных по включению, где inf — пересечение, а sup — сумма соответствующих надпространств;

4) множество всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по делимости: a £b , если b = ac для некоторого c. Здесь sup — наименьшее общее кратное, а inf — наибольший общий делитель данных чисел;

23. Решетка как универсальная алгебра.

Решетка может быть также определена как универсальная алгебра с двумя бинарными операциями (они обозначаются + и × или È и Ç, а также Ú и Ù), удовлетворяющая следующим тождествам

(1) a + a = a, (1¢) a  × a = a {идемпотентность},

(2) a + b = b + a, (2¢) a  × b = b × a {коммутативность},

(3) (a + b) + c = a + (b + c), (3¢) (a × b)× c = a  × (b × c) {ассоциативность},

(4) a (a + b) = a, (4¢) a + a × b = a  {поглощение}.

Связь между этими двумя определениями устанавливается при помощи формул:

a + b = sup {a, b},         a  ×  b = inf {a, b}, 

и обратно. При этом для любых элементов a и b эквивалентны следующие утверждения: (а) a £b  ; (б) a b = a; (в) a + b = b. Понятия изоморфизма решеток как универсальных алгебр и как частично упорядоченных множеств совпадают.

24. Алгебраическая система (алгебра). Носитель, основное множество алгебры. Сигнатура алгебры. Универсальная алгебра (собственно алгебра) и реляционная система (модель) как разновидности алгебраической системы (алгебры).

Алгебраическая система (алгебра) определяется как , где A — непустое множество, O — семейство операций, R — семейство отношений на множестве A. При этом A называется носителем или основным множеством; операции из O и отношения из R называются основными или главными.

Множество  = O   R называется сигнатурой алгебры S.

Система S называется собственно алгеброй или универсальной алгеброй, если множество R основных отношений пусто и называется реляционной системой или моделью, если множество O основных операций пусто.

Сигнатура любой алгебры должна быть полной, независимой и непротиворечивой. Сигнатура является полной, если любая другая формула может быть представлена в виде пропозициональной формы с помощью ее элементов.

Сигнатура называется независимой, если в ней не найдется элемента, выводимого с помощью правил вывода из других элементов сигнатуры.

Сигнатура непротиворечива, если не найдется формулы F, которая одновременно справедлива с формулой  F .

25. Граф. Вершина, ребро, дуга. Неориентированный граф, ориентированный граф (орграф). Кратные ребра (дуги). Петли. Смежные вершины, смежные дуги. Степень вершины. Инцидентные ребро и вершина, дуга и вершина.

Граф — множество V вершин и набор E неупорядоченных и упорядоченных пар вершин; обычно граф обозначают как G(V, E).

Неупорядоченная пара вершин называется ребром, упорядоченная пара — дугой.

Граф, содержащий только ребра, называется неориентированным; граф, содержащий только дуги — ориентированным (или орграфом).

Пара вершин может быть соединена двумя или более ребрами (или, соответственно, дугами одного направления), такие ребра (или дуги) называются кратными.

Дуга (или ребро) может начинаться и заканчиваться в одной и той же вершине, в этом случае соотв. дуга (или ребро) называется петлей.

Вершины, соединенные ребром или дугой, называются смежными.

Ребра, имеющие общую вершину, тоже называются смежными.

Ребро (или дуга) и любая из его вершин называются инцидентными.

Принято говорить, что ребро (u, v) соединяет вершины u и v, а дуга (u, v) начинается в вершине u и кончается в вершине v.