- •Глава 1 динамические системы в задачах обработки навигационной информации
- •1.1. Математические модели динамических систем и методы их описания
- •1.1.1. Определение и классификация динамических систем
- •1.1.2. Определение выхода линейных динамических систем с помощью фундаментальной матрицы и весовой функции
- •1.1.3. Передаточная функция стационарных линейных динамических систем
- •1.1.4. Частотная характеристика стационарных линейных динамических систем
- •1.1.5. Взаимосвязь между основными функциями, используемыми при описании линейных динамических систем
- •Основные функции, используемые при описании линейных систем
- •Взаимосвязь различных функций, используемых для описания поведения линейных стационарных систем
- •1.1.6. Определение модели линейной динамической системы в пространстве состояний по заданной передаточной функции
- •1.1.7. Основные свойства линейных динамических систем
- •Задачи к разделу
- •Контрольные вопросы
- •1.2. Линейные стационарные динамические системы
- •1.2.1. Интеграторы
- •1.2.2. Фильтры Баттерворта
- •1.2.3. Модель акселерометра
- •1.2.4. Модель микромеханического гироскопа
- •1.2.5. Простейшая модель ошибок построения вертикали в инерциальной системе
- •Вклад уходов гироскопов в ошибки определения нп в автономном режиме в течение 3 мин
- •Вклад ошибок акселерометров в ошибки определения нп в автономном режиме в течение 3 мин
- •Задачи к разделу
- •Контрольные вопросы
- •1.3. Дискретизация и моделирование линейных
- •1.3.1. Дискретизация непрерывных систем
- •1.3.2. Основные методы описания lti-объектов в Matlab
- •Создание lti-объектов
- •Извлечение информации о моделях
- •1.3.3. Особенности дискретизации стационарных систем
- •Методы дискретизации, используемые в функции c2d
- •Методы вычисления матричной экспоненты
- •Контрольные вопросы
- •1.4. Задание для моделирования
- •Пример выполнения задания в Matlab
- •Заключение к главе 1
Контрольные вопросы
Определите понятие динамической системы и системы обработки информации и управления.
Введите модель динамической системы в форме Коши и определите такие понятия, как вектор состояния и пространство состояний.
Приведите классификацию динамических систем и, в частности, определите специфику линейных стационарных систем.
Запишите выражение, определяющее выход системы с использованием фундаментальной матрицы.
Дайте определение весовой функции. Поясните, почему для весовой функции используется термин импульсная переходная функция?
Что такое физически реализуемая система? Какова ее весовая функция?
Введите понятие передаточной функции и приведите ее общий вид для линейной стационарной динамической системы с одним входом и одним выходом, заданной в форме пространства состояний. Поясните, почему она имеет такой вид.
Как связаны между собой передаточная и весовая функции?
Дайте определение частотной характеристики, поясните ее смысл и связь с передаточной функцией.
В чем особенность определения частотной характеристики по сравнению с определением передаточной функции?
Определите основные функции, используемые при описании поведения линейных систем, и поясните взаимосвязь их между собой.
Что такое преобразование базиса системы?
Поясните, почему решение задачи определения модели в форме пространства состояний по заданной передаточной функции имеет множество решений. Приведите пример.
Что такое управляемая и наблюдаемая канонические формы?
Поясните алгоритм перехода от заданной передаточной функции к модели системы в пространстве состояния с использованием управляемой и наблюдаемой канонических форм.
Дайте определение и поясните смысл таких понятий как наблюдаемость и управляемость.
Сформулируйте условия, при которых линейная стационарная система является нейтрально устойчивой и неустойчивой.
Что такое астатизм системы? Приведите примеры системы с астатизмом второго порядка.
1.2. Линейные стационарные динамические системы
в задачах обработки навигационной информации
В данном разделе приводятся некоторые примеры линейных стационарных динамических систем, нередко используемых при решении задач обработки навигационной информации, и иллюстрируются возможности рассмотренных выше методов их описания.
1.2.1. Интеграторы
Пусть система описывается следующими уравнениями:
(1.2.1)
. (1.2.2)
Получим функции, с помощью которых может быть описано поведение этой системы. Заметим, что данное уравнение может рассматриваться как модель изменения координаты и скорости для описания одномерного движения объекта, например, в вертикальной плоскости под действием входного воздействия . Как отмечалось в первой части, такая же модель нередко используется при описании линейных временных трендов ошибок различных датчиков или их зависимостей от температуры и т.п. [73].
Матрицы , и в этом случае имеют вид:
; ; .
Фундаментальная матрица здесь, как следует из примера П3 приложения 2, определяется выражением (П2.17). Таким образом, при нулевых начальных условиях
,
т. е. , и, следовательно,
; . (1.2.3)
Функции (1.2.3) соответствуют операции двойного интегрирования. Нетрудно и непосредственно убедиться в том, что операция соответствует двойному интегрированию. Для этого достаточно ввести функции и и воспользоваться правилом интегрирования по частям, т. е.
В общем случае можно показать, что
. (1.2.4)
С учетом сказанного обращаем внимание, что при ненулевых начальных условиях согласно (П2.18) выход системы представляет собой сумму полинома первого порядка и второго интеграла от входного воздействия, т.е.
.
Система (1.2.1), (1.2.2) является частным случаем (при ) системы (1.1.14), (1.1.15), в которой:
; (1.2.5)
; (1.2.6)
. (1.2.7)
Запишем выражение для весовой и передаточной функций и частотной характеристики такой системы. Используя представление фундаментальной матрицы в виде ряда, нетрудно убедиться в том, что для нее можно записать выражение
(1.2.8)
Отсюда следует, что
, (1.2.9)
т. е.
. (1.2.10)
Из таблиц преобразования Лапласа получаем:
; (1.2.11)
, (1.2.12)
и таким образом система является нейтрально устойчивой.
Из представленного материала следует, что система с матрицами (1.2.5)(1.2.7) соответствует случаю формирования выходного сигнала (1.2.9) в виде суммы двух слагаемых, одно из которых представляет собой полином степени , а второе -кратно проинтегрированный входной сигнал.