Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

New1_L.doc

Скачиваний:

Добавлен:

19.09.2019

Размер:

5.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 176 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

1.1.7. Основные свойства линейных динамических систем

Определим некоторые свойства линейных систем, следуя в основном работам [38, 41].

Пусть задана система (1.1.7) и зафиксировано начальное условие в момент . Обсудим возможность изменения состояния системы от путем подачи на ее вход управления , до некоторого требуемого конечного состояния . После введения новой системы координат эту задачу можно сформулировать как задачу перехода из начального состояния в начало координат за конечное время.

Система (1.1.7) называется управляемой в момент , если существует кусочно-непрерывная функция управления , зависящая от и определенная на интервале , для которой . Если это справедливо для всех и всех , то система называется полностью управляемой. Из этого определения следует, что для полностью управляемой системы всегда можно найти такое управление, с помощью которого эту систему можно перевести из одного состояния в другое.

Из теории управления известно следующее утверждение [38 ].

Система (1.1.7) полностью управления тогда и только тогда, когда для некоторого

, (1.1.54)

где  переходная матрица. Для случая стационарной системы это условие сводится к следующему утверждению.

Стационарная система (1.1.14) является полностью управляемой тогда и только тогда, когда матрица имеет ранг , т.е.

. (1.1.55)

Матрица (1.1.54) называется матрицей управляемости [41, с. 149].

 Пример 1.1.7. Проанализируем управляемость системы

Поскольку в данном случае

; ,

и условие (1.1.55) выполнено, т.к. , то эта система полностью управляема. 

Введем теперь понятие наблюдаемости.

Система (1.1.7), (1.1.8) называется наблюдаемой, если ее состояние в некоторый момент можно определить, зная на интервале , для некоторого конечного . Система называется полностью наблюдаемой, если сформулированное условие выполняется для любого .

Справедливо следующее утверждение.

Система (1.1.7), (1.1.8) полностью наблюдаема тогда и только тогда, когда для некоторого

. (1.1.56)

Для случая стационарной системы это условие сводится к следующему утверждению.

Стационарная система (1.1.14), (1.1.15) является полностью управляемой тогда и только тогда, когда матрица имеет ранг , т.е.

. (1.1.57)

Матрица (1.1.56) называется матрицей наблюдаемости.

 Пример 1.1.8. Проанализируем наблюдаемость системы, рассмотренной в предыдущем примере, при условии, что измеряется первая компонента, т.е. .

Поскольку матрица , то условие (1.1.57) в этом случае выполнено, так как и таким образом, эта система полностью наблюдаема. 

Весьма важным свойством систем является их устойчивость. Приведем одно из возможных определений этого понятия применительно к системе .

Пусть существует решение этого дифференциального уравнения, где  начальные условия. Система называется устойчивой, если для любого найдется такое, что для всех начальных значений из области , для любых выполняется , где  норма вектора [41, с.145; 72, с.94].

Из этого определения следует, что для устойчивой системы всегда можно найти такую - окрестность точки в начале координат, для которой траектория решения не выходит за пределы сколь угодно малой - окрестности.

Система называется асимптотически устойчивой, если она устойчива и при этом .

Существуют различные критерии устойчивости. Наиболее часто используемый критерий связан с анализом расположения корней характеристического уравнения (П2.42) на комплексной плоскости для матрицы динамики, т.е. уравнения .

Линейная стационарная система устойчива, если действительные части корней характеристического полинома не положительны, т.е.

, . (1.1.58)

Линейная стационарная система асимптотически устойчива, если действительные части корней характеристического полинома отрицательны, т.е.

, . (1.1.59)

Линейная стационарная система является нейтрально устойчивой, если существует хотя бы один действительный нулевой корень, либо пара комплексно сопряженных корней с нулевой действительной частью [41, с. 147].

И наконец, линейная стационарная система является неустойчивой, если существует хотя бы один корень, для которого

Введенные критерии устойчивости становятся очевидными, если вспомнить определения устойчивости и структуру решения характеристического уравнения (П2.42), в которое входят слагаемые с множителями .

Если для системы ввести управление и какой либо ее выход, то она преобразуется к виду (1.1.14), (1.1.15). Полагая для простоты, что система является SISO системой, для нее можно записать ПФ в виде (1.1.22). Поскольку для такой системы знаменатель ПФ совпадает с характеристическим уравнением, можно констатировать, что устойчивость системы полностью определяется полюсами передаточной функции.

 Пример 1.1.9. Проанализируем устойчивость системы

Записывая корни характеристического уравнения в виде , можем констатировать, что устойчивость этой системы зависит лишь от значения . Система устойчива, если , а при , система асимптотически устойчива. 

В завершении этого раздела рассмотрим еще одно важное свойство, получившее название астатизма системы. Обсудим его применительно к SISO системе, полагая, что для нее задана ПФ (1.1.22).

Система с ПФ (1.1.22) обладает астатизмом -го порядка, если при полиномиальном задающем входном сигнале

, (1.1.60)

в котором ,  известные коэффициенты, установившаяся ошибка воспроизведения этого сигнала при на выходе системы равна нулю [87, с.127].

Обсудим требования, выдвигаемые к системе, обладающей свойствами астатизма.

В соответствии с выражением (1.1.17) выходной сигнал в установившемся режиме можно записать в виде

. (1.1.61)

Пусть входной сигнал представляет собой произвольную функцию времени, такую что может быть записан в виде разложения в ряд Тэйлора в окрестности точки , т.е.