- •Глава 1 динамические системы в задачах обработки навигационной информации
- •1.1. Математические модели динамических систем и методы их описания
- •1.1.1. Определение и классификация динамических систем
- •1.1.2. Определение выхода линейных динамических систем с помощью фундаментальной матрицы и весовой функции
- •1.1.3. Передаточная функция стационарных линейных динамических систем
- •1.1.4. Частотная характеристика стационарных линейных динамических систем
- •1.1.5. Взаимосвязь между основными функциями, используемыми при описании линейных динамических систем
- •Основные функции, используемые при описании линейных систем
- •Взаимосвязь различных функций, используемых для описания поведения линейных стационарных систем
- •1.1.6. Определение модели линейной динамической системы в пространстве состояний по заданной передаточной функции
- •1.1.7. Основные свойства линейных динамических систем
- •Задачи к разделу
- •Контрольные вопросы
- •1.2. Линейные стационарные динамические системы
- •1.2.1. Интеграторы
- •1.2.2. Фильтры Баттерворта
- •1.2.3. Модель акселерометра
- •1.2.4. Модель микромеханического гироскопа
- •1.2.5. Простейшая модель ошибок построения вертикали в инерциальной системе
- •Вклад уходов гироскопов в ошибки определения нп в автономном режиме в течение 3 мин
- •Вклад ошибок акселерометров в ошибки определения нп в автономном режиме в течение 3 мин
- •Задачи к разделу
- •Контрольные вопросы
- •1.3. Дискретизация и моделирование линейных
- •1.3.1. Дискретизация непрерывных систем
- •1.3.2. Основные методы описания lti-объектов в Matlab
- •Создание lti-объектов
- •Извлечение информации о моделях
- •1.3.3. Особенности дискретизации стационарных систем
- •Методы дискретизации, используемые в функции c2d
- •Методы вычисления матричной экспоненты
- •Контрольные вопросы
- •1.4. Задание для моделирования
- •Пример выполнения задания в Matlab
- •Заключение к главе 1
1.2.5. Простейшая модель ошибок построения вертикали в инерциальной системе
В общем случае (см. подраздел 4.2) для описания ошибок инерциальных навигационных систем используются линейные нестационарные уравнения высокого порядка с вектором состояния, включающим ошибки выработки координат, составляющих скорости, ошибки построения инерциального трехгранника, ошибки вертикали, ошибки ЧЭ и т.п. [4, 63]. Для приближенного описания ошибок нередко уравнения упрощают, что дает возможность исследовать поведение отдельных составляющих с помощью уравнений невысокого порядка. Например, для описания ошибок построения вертикали в восточном канале инерциальной навигационной системы могут быть использованы следующие уравнения [59, 62]:
где , – ошибка вертикали и восточной составляющей скорости; – радиус Земли; – значение нормального ускорения силы тяжести; , – ошибки гироскопов и акселерометров.
Такое представление может быть получено в пренебрежении связей между уравнениями, описывающими ошибки северного и восточного каналов ИНС [4]. Вводя , , запишем:
(1.2.33)
, (1.2.34)
где , – ошибки гироскопов и акселерометров.
Поскольку , , то, используя (1.1.20), (1.1.33), получаем:
;
,
где – частота, соответствующая периоду Шулера, мин.
Характеристическое уравнение для такой системы имеет два комплексно-сопряженных корня , т.е. она является нейтрально устойчивой. Нетрудно заметить, что (1.2.33) представляет собой частный случай системы, рассмотренной в примере 1.1.4.
Используя таблицы преобразований Лапласа, получаем выражение для фундаментальной матрицы
.
Исследуем поведение системы (1.2.33), (1.2.34) во времени. Представим выход системы в виде суммы свободного и вынужденного движений, т. е.
.
С учетом введенных обозначений запишем:
(1.2.35)
. (1.2.36)
Входящие в уравнения (1.2.35), (1.2.36) составляющие удобно анализировать, когда по уровню вклад каждой из них одинаковый. Для этого необходимо, чтобы начальные значения удовлетворяли следующему условию:
.
В этом случае:
,
т.е. ошибки представляют собой синусоиды, сдвинутые друг относительно друга на 90. Графики этих функций приведены на рис. 1.2.5.
Рис. 1.2.5. Графики изменения ошибки вертикали и скорости при ненулевых начальных условиях и отсутствии входных воздействий
Вынужденные составляющие, обусловленные входными воздействиями, задаются как
;
.
Эти составляющие аналитически удобно записать, применяя преобразование Лапласа
. (1.2.37)
Используя (1.2.37), можно проанализировать влияние различных по характеру воздействий на поведение ошибок построения вертикали и скорости. В частности, поскольку постоянной величине k соответствует изображение по Лапласу в виде k/р, при постоянных входных воздействиях и будем иметь:
На основании этих соотношений и таблицы преобразований Лапласа П1.2 получим следующие выражения для ошибок вертикали и скорости:
; (1.2.38)
. (1.2.39)
Таким образом, можно оценить вклад постоянных ошибок гироскопов и акселерометров в ошибки определения вертикали и скорости. Заметим, что при анализе промежуточных результатов полезной оказывается проверка на совпадение размерностей. В данном случае имеем:
;
.
Для того чтобы вклад двух слагаемых, входящих в полученные выше выражения, был бы одинаковым, необходимо выполнение условия . Полагая это условие выполненным и задаваясь, к примеру, величиной , получаем:
;
.
Графики изменения этих величин изображены на рис. 1.2.6.
Рис. 1.2.6. Графики изменения ошибок определения вертикали и скорости
при нулевых начальных условиях и постоянных входных воздействиях
Проведенный анализ показывает, что составляющие ошибок построения вертикали и скорости, обусловленные постоянными ошибками гироскопов и акселерометров, также представляют собой сдвинутые относительно друг друга на четверть периода шулеровские колебания с периодом Тш.
Принимая во внимание, что при малых интервалах времени ( ) , , вместо выражений (1.2.35)(1.2.38) могут быть использованы следующие приближенные соотношения:
; ;
;
или
,
.
Нетрудно заметить, что на коротком интервале времени ошибки выработки навигационных параметров при нулевых начальных условиях можно описать с помощью приближенного уравнения
(1.2.39)
где ошибки определения координаты.
Приведем приближенный анализ точности в целях определения вклада ошибок чувствительных элементов (гироскопов и акселерометров) инерциальной навигационной системы в погрешность выработки основных навигационных параметров (НП) – координат и скорости. Так, полагая ошибки ЧЭ постоянными, нетрудно, например, получить результаты, представленные в таблицах и соответствующие различным уровням ошибок ЧЭ.
Т а б л и ц а 1.2.1