Глава 1 динамические системы в задачах обработки навигационной информации

Как отмечено во введении, основное внимание в настоящей работе будет уделяться задачам обработки навигационной информации, суть которых сводится к оцениванию вектора состояния, описываемого соотношением (1) по измерениям (2). При решении таких задач важную роль играют динамические системы и методы, используемые при их решении.

Цель настоящей главы  дать краткое изложение основных понятий, связанных с динамическими системами и математическими методами их описания в том объеме, который востребован при обсуждении вопросов, посвященных построению алгоритмов оценивания в задачах с непрерывным временем.

1.1. Математические модели динамических систем и методы их описания

В этом разделе приводятся основные определения, касающиеся динамических систем с непрерывным временем, дается их классификация, подробно рассматриваются различные модели и методы описания поведения линейных систем, основанные на использовании фундаментальной матрицы и весовой функции, передаточной функции и частотной характеристики. Значительное внимание уделяется особенностям каждого из перечисленных методов и обсуждению вопросов взаимосвязи и отличий между ними [1-3, 7,15, 39, 41-43, 47, 52, 72, 87].

1.1.1. Определение и классификация динамических систем

Под динамической системой будем понимать систему, которая изменяет свое состояние во времени. Примером динамической системы является система обработки измерительной информации о параметрах движения объекта в целях управления этим объектом. В общем случае в состав такой системы входят измерители, вырабатывающие данные, с помощью которых может быть получена информация о состоянии объекта; устройство, обеспечивающее оценивание состояния объекта по информации от измерителей исходя из того или иного критерия; устройство, формирующее закон управления в соответствии со своим критерием и, наконец, исполнительное устройство, реализующее этот закон. Обобщенная блок-схема системы обработки информации и управления представлена на рис. 1.1.1.

Рис. 1.1.1. Блок-схема системы обработки информации и управления

Частные случаи таких систем могут не включать те или иные блоки. Например, когда состояние объекта считается точно известным, тогда отпадает необходимость в устройстве оценивания. В некоторых системах, наоборот, требуется только оценить состояние объекта и не решается задача управления. В качестве примера динамических систем можно привести навигационные системы, точнее, информационно-навигационные системы, задача которых заключается в выработке данных об ориентации некоторого подвижного объекта в пространстве, его местоположении и скорости по информации от различного набора навигационных датчиков.

Важную роль при исследовании динамических систем играют их математические модели. Существует несколько подходов для задания и описания динамических систем. Наиболее общий из них опирается на аппарат теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Некоторые основные положения этой теории приведены в приложении 2.

В общем случае при решении задач обработки навигационной информации математическая модель динамической системы может быть задана с помощью нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши (П2.1)

, , (1.1.1)

и уравнений выхода (измерений) в виде

, (1.1.2)

где – -мерный вектор, описывающий состояние объекта; – значение вектора состояния в начальный момент времени (начальные условия); – -мерный вектор управления; – -мерный входной вектор возмущений; – -мерный вектор выхода; – -мерный вектор ошибок измерений; , – и -мерные в общем случае нелинейные вектор-функции, т.е. векторные функции от векторного аргумента. Для входных векторов управлений и возмущений будем также использовать термин –входной сигнал или входное воздействие.

Классификация систем, описываемых с использованием дифференциальных уравнений в форме Коши, соответствует классификации дифференциальных уравнений. Так, если функции, определяющие правые части (1.1.1), (1.1.2), являются линейными, динамическая система называется линейной, в противном случае система называется нелинейной. При наличии явной зависимости этих функций от времени система называется нестационарной, если такой зависимости нет, то динамическая система называется стационарной.

Вектор , с помощью которого описывается состояние системы, называется вектором состояния, а пространство, которому принадлежит этот вектор – пространством состояния. Уравнение (1.1.1) называют уравнением состояния, а метод описания систем, основанный на использовании уравнений (1.1.1), (1.1.2) – методом пространства состояний [1-3, 15, 26, 43].

Системы, состояние которых зависит от непрерывного времени и описывается с помощью дифференциальных уравнений, называются непрерывными динамическими системами. В отличие от непрерывных дискретные динамические системы описываются с помощью разностных уравнений, а их состояние меняется в дискретные моменты времени. Такие системы использованы при рассмотрении задач оценивания случайных последовательностей [73].

В настоящем разделе основное внимание уделяется непрерывным системам, а дискретные – рассматриваются только в связи с задачей дискретизации непрерывных систем, которая обсуждается в подразделе 1.3. Поэтому в дальнейшем, если это не будет специально оговариваться, речь пойдет о непрерывных динамических системах. При конкретизации свойств непрерывной динамической системы уточняется вид дифференциального уравнения.

При построении алгоритмов обработки навигационной информации в дальнейшем будем иметь дело с линейными динамическими системами, т.е. такими, которые в общем случае описываются с помощью линейных нестационарных дифференциальных уравнений:

, ; (1.1.3)

, (1.1.4)

где , – матрицы размерности соответственно. Обычно для этих матриц используются следующие названия: – матрица динамики системы; – матрица управляющих воздействий; – матрица возмущений; – матрица измерений или наблюдений.

Более узкий класс систем – это линейные стационарные динамические системы, у которых входящие в соотношения (1.1.3), (1.1.4) матрицы не зависят от времени, т.е.

, ; (1.1.5)

. (1.1.6)

Предположим далее, что задана линейная динамическая система без возмущений. При классификации таких систем с различным соотношением размерностей векторов, входящих в (1.1.5), (1.1.6), используется специальная терминология.

Динамические системы с одним входом ( ) и одним выходом ( ), т.е. системы, у которых вход и выход скалярные, при этом в общем случае размерность вектора состояния равна . Ясно, что при этом матрицы и представляют собой вектор и строку соответственно. Для таких систем в англоязычной литературе используется термин – Single Input Single Output или SISO системы.

Динамические системы с многими входами и многими выходами, т.е. системы, у которых вход и выход – векторные. Эти системы в англоязычной литературе называются – Multiple Input Multiple Output или MIMO системы.

По аналогии нетрудно ввести определение динамических систем с одним входом и многими выходами – SIMO системы и системы с многими входами и одним выходом, т.е. MISO системы.

Одной из основных задач, которую требуется решать при проектировании и исследовании динамических систем, является задача определения выхода системы по информации о начальных условиях и входных воздействиях. Рассмотрим далее основные функции, с помощью которых можно описать поведение выхода линейных динамических систем в зависимости от начальных условий и входного воздействия.