24. Экспоненциальное распределение: плотность, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия.

Экспоненциальным (показательным) распределением непрерывной случайной величины Х называется такое распределение, которое описывается следующим выражением для плотности вероятности:

f(x) = { 0, если x<0

λ℮^-λx, если x≥0.

Функция распределения вероятностей в этом случае имеет вид

F(x)= { 0, если x<0

1-℮^-λx , если x≥0

Математическое ожидание: M_x=1/λ

Дисперсия: D_x= 1/ λ²

25. Нормальное распределение: плотность, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия. Стандартное нормальное распределение. Функция Лапласа. Интеграл Пуассона.

Нормальным называют такое распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

f(x) = (1/σ√2π)℮^(-(x-a)²/2σ²)

Математическое ожидание нормального распределения равно параметру a, т.е. M(x)=a

Диспесия: D(X) =σ²

Функция Лапласа: Φ(x)= 1/√2π₀∫ ^x℮^(-z2/2)dz

Интеграл Пуассона: _-∞∫^∞℮^(-z2/2)dz=√2π

Стандартное нормальное распределение - это нормальное распределение с параметрами a = 0 и σ² = 1, т. е. плотность примет вид

26. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило «трех сигм». Вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал, симметричный относительно математического ожидания.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:

P(α<X<β)= Φ (β –a/σ)- Φ(α-a/ σ).

Сущность правила «трех сигм»:

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

P(│X-a│<3σ)≈0,9973

27. Многомерные случайные величины. Закон распределения двумерной случайной величины. Закон распределения составляющих.

Очень часто результат испытания характеризуется не одной случайной величиной, а системой случайных величин, которую называют многомерной.

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел (x_i, y_j) и их вероятностей p(x_i, y_j)(i=1,2,.,n; j=1,2,..,m). Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным рядом.

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Например, события (X=x₁; Y=y₁), (X=x₁; Y=y₂), ...,(X=x₁; Y=y_m), несовместны, поэтому вероятность P(x₁) того, что X примет значение х₁, по теореме сложения такова:

P(x₁)=p(x₁,y₁)+p(x₁,y₂)+...+p(x₁,y_m).

Таким образом, вероятность того, что Х примет значений х₁, равна сумме вероятностей «столбца х₁». В общем случае, для того чтобы найти вероятность P(X=x_i) надо просуммировать вероятности столбца x_i. Аналогично сложив вероятности «строки y_j». Аналогично сложив вероятности «строки y_j», получим вероятность P(Y=y_j).