- •1. Предмет тер вера. Случ опыт. Случ событие.Элемент событие. Мн-во эл событий
- •2.Достоверн и невозможн событие. Сумма, разность, произведение.
- •3. Несовместные события. Полная группа событий. Противоположные события.
- •4. Классич и статистич определение вероятностей.
- •5. Формулы комбинаторики
- •6. Вероятн суммы несовместных событий. Следствия (о вероятн против события и суммы вер группы событий)
- •7.Теорема сложения вер 2х совместных соб. Вер суммы неск совместн событий как вер появления хоты бы одно из неск событий.
- •8. Условная вероятнось. Завис и независ события. Теорема умножения вероятней ( для 2х событий)
- •9. Формула полной вероятности
- •10. Формула Байеса (учебник)
- •10. Формула Байеса (лекции)
- •11. Схема Бернулли. Теорема Бернулли. Теорема Пуассона.
- •12. Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •13. Закон распределения дискретной случайной величины
- •14. Функция распределения дискретной случайной величины
- •2. Свойство:
- •15. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания.
- •16. Дисперсия дискретной случайной величины. Св-ва дисперсии. Среднее квадратическое отклонение.
- •18. Закон распределения Пуассона. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона.
- •19.Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.
- •20. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.
- •21. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Среднее квадратическое отклонение.
- •22. Мода. Медиана. Наивероятнейшее число появления события в независимых испытания Бернулли. Геометрическая интерпретация числовых характеристик случайных величин.
- •24. Экспоненциальное распределение: плотность, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия.
- •25. Нормальное распределение: плотность, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия. Стандартное нормальное распределение. Функция Лапласа. Интеграл Пуассона.
- •27. Многомерные случайные величины. Закон распределения двумерной случайной величины. Закон распределения составляющих.
- •Условные законы распределения:
- •Функции регрессии:
- •Плотность распределения составляющих двумерной дискретной случайной величины.
- •Зависимые и независимые случайные величины.
- •Линейная зависимость между случайными величинами и значение коэффициента корреляции:
- •35. Центральная предельная теорема – теорема Ляпунова
- •Локальная теорема Лапласа:
- •33. Закон больших чисел.
- •34. Теорема Бернулли
Условные законы распределения:
Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения.
Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения. Условная плотность распределения вычисляется по формулам:
f(x| y)=f(x,y)/f2(y)=f(x,y)/-∞∫∞f(x,y)dx
f(y| x)=f(x,y)/f1(x)= f(x,y)/-∞∫∞f(x,y)dy
Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.
Условное математическое ожидание двумерной дискретной случайной величины:
Условным математическим ожиданием дискретной величины Y при Х=х (х-определенное возможное значение Х) называют произведение возможных значений Y на их условные вероятности: M(Y | X=x) = j=1∑myjp(yj | x).
Функции регрессии:
Условное математическое ожидание M(Y | х) есть функция от х: M(Y | X =х)=M(Y | х)=f(x), которую называют функцией регрессии Y на Х.
Аналогично определяется функция регрессии Х на Y: M(Х | Y =y)=M(X | y)=f(y).
Ковариация и коэффициент корреляции дискретной двумерной случайной величины:
Если есть (Х,Y), распределение которых известно, тогда можно найти МХ=ах, МY=ay, D(X), D(Y). Но Х и Y недостаточно полно характеризует двумерную случайную величину, т. к. не отражают степени зависимости ее составляющих. Эту роль выполняют ковариация и коэффициент корреляции.
Ковариация (корреляционный момент) Кху с. в. Х и Y – математическое ожидание M[(X-M(X))*(Y-M(Y))].
Для дискретных с. в. Kxy=i=1∑m j=1∑n (xi-ax)(yj-ay)pij. Следовательно Kxy =Kxy
Ковариация двух одномерных с.в. характеризует степень зависимости этих с.в. и их рассеивание вокруг точки (ах, ау).
Свойства ковариации:
ковариация двух независимых с. в. = 0
Kxy=M(XY)-M(X)*M(Y)
Kxy≤GxGy
Корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин Х и Y. Этот факт является недостатком этой числовой характеристики, т.к. при различных единицах измерения получаются различные корреляционные моменты, что затрудняет сравнение корреляционных моментов различных случайных величин. Для того чтобы устранить этот недостаток применятся другая характеристика – коэффициент корреляции.
Коэффициент корреляции двух с.в. называется ρxy= Kxy/ GxGy
Свойства коэффициента корреляции:
-1≤ρ≤1
если с.в. независимы, то ρ=0
Из независимости с.в. следует их некоррелируемость.
Из некоррелируемости не следует их независимость.
если |ρ|=1, то между ними существует линейная функциональная зависимость.
Плотность распределения составляющих двумерной дискретной случайной величины.
Плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей.
Плотность распределения составляющей Х: f1(x)=-∞∫∞f(x, y)dy
Плотность распределения составляющей Y: f2(x)=-∞∫∞f(x, y)dx
Функции распределения составляющих двумерной дискретной случайной величины ???????