2. Свойство:

3. Свойство: , т.к. F(x)=P(X<х)

4. Свойство: (по определению)

5. Свойство:F(x) непрерывна слева:

15. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания.

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х – это сумма произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

(1)

Математическое ожидание называют также средним значением случайной величины, учитывая то, что каждое возможное значение х_i входит в выражение (1) с соответствующим «весом», которым и является вероятность р_i. В частном случае, когда все значения х_i равновероятны, т.е. , математическое ожидание будет равно среднему арифметическому всех возможных значений:

Свойства математического ожидания (теоремы и док-ва)

1. Мат ожидание постоянной величины равно этой постоянной

Док-во: Постоянную величину С можно рассматривать как случайную величину, которая принимает лишь одно значение С с вероятностью, равно единице. Поэтому

2. Постоянный множитель можно выносить за знак мат ожидания.

Док-во: Если Х – случайная величина, то kХ – тоже случайная величина, которая принимает kx_i с вероятностями p_i, т.е. с вероятностями значений х_i. Тогда математическое ожидание величины kХ:

3. Мат ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их мат ожиданий.

Док-во: Докажем теорему для суммы случайных величин. Математическое ожидание суммы случайных величин Х и Y:

Разобьем это выражение на 2 части: (2)

Так как при любом значении x_i рассматривается появление всех возможных значений y_j, то эти значения образуют полную группу событий, сумма вероятностей которых равна единице:

Подставим эти значение в выражение (2), находим

M (X+Y) =

Следствие. Мат ожидание отклонения случайной величины Х от её мат ожидание равно 0

Действительно,

4. Мат ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их мат ожиданий.

Док-во: Рассмотрим произведение 2х случайных величин Х и Y. Это случайная величина XY, которая принимает все значения с вероятностями p_ij. Т.к. величины X и Y независимы, то

16. Дисперсия дискретной случайной величины. Св-ва дисперсии. Среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называется мат ожидание квадрата отклонений её математического ожидания самой величины: или

Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – это арифметическое значение корня квадратного из её дисперсии:

Св-ва дисперсии формулируются в виде теорем:

1.Дисперсия постоянной величины равна 0.

Док-во: Рассматривая постоянную как случайную величину, замечаем, что отклонение её мат ожидание всегда равно 0. Значит, и дисперсия равна 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:

Док-во: Если Х – случайная величина, то kX – тоже случайная величина, мат ожидание которой kM(x). Применяя к случайной величине kX определение дисперсии, получаем :

3.Дисперсия случайной величины равна разности мат ожидания её квадрата и квадрата мат ожидания самой величины:

Док-во: По определению дисперсии и с учетом свойств мат ожидания получаем:

4. Дисперсия суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Док-во: Докажем теорему для суммы 2х случайных величин Х на Y.

На основании определения дисперсии:

Т.к.

17. Основные законы распределения дискретных случайных величин. Биноминальный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, имеющей биноминальный закон распределения.

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень её возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения x_i , а вторая – вероятности р_i:

Х	х1	х2	…	хn
р	р1	р2	…	рn

Где

Если множество возможных значений Х бесконечно (счетно), то ряд р₁+р₂+…сходится и его сумма равна единице.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан также аналитически (в виде формулы): или с помощью функции распределения: F(x)=Р(Х<х)

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки и соединяют их отрезками. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Основные законы распределения дискретной случайной величины: Биномиальный и закон распределения Пуассона.

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х-числа появления события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р; вероятность возможного значения Х=k (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернулли:

Ряд распределения биномиальной случайной величины имеет вид:

X	0	1	2	….	k	….	n
P	Pn(0)	Pn(1)	Pn(2)	….	Pn(k)	…	Pn(n)

Зная значения величин n и р можно составить ряд распределения и изобразить полигон распределения для конкретной биномиальной величины, т.е. p и n являются параметрами биномиального распределения.

Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу Pn(m)= ( m=0, 1,2,3,….), где m-число появления события в n независимых испытаниях, (среднее число появлений события n в испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Математическое ожидание и дисперсия для биномиального закона

Теорема 1. Математическое ожидание биноминальной величины X равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании M(X)=np.

Док-во: Случайная величина Х, распределенная по биноминальному закону, определяется числом появлении события А при n испытаниях. Вероятность появления такого события в одном испытании равна p, не появления q=1-p.

Пусть X_i – число появлений события А при i–ом испытании.

Ясно, что X_i может принять только два значения: 1 с вероятностью p (т.е. событие А произошло) и 0 с вероятностью q (т.е. А не произошло) и, следовательно

M(X_i)=1*p+0*q=p.

Однако X₁+ X₂+…+ Xn=X, т.е. число появлений события А в одной серии испытаний n можно рассматривать как сумму случайных величин.

Поэтому M(X₁)+M(X₂)+…+M(Xn)=np - числа появлений события А в каждом испытании.

Теорема 2. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

Док-во: Пусть Х-число появлений события А в n независимых испытаниях. Оно равно сумме появлений событий А в каждом испытании:

Х=Х₁+Х₂+…+Xn

Т.к. испытания независимы, то и случайные величины X1, X2,…,Xn независимы. Поэтому

D(X) =D(X1) +D(X2) +…+D(Xn)

D(Xi)=M(X2)-M2(Xi), i=1,2,…,n