18. Закон распределения Пуассона. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу Pn(m)= (m=0,1,2…), где m-число появления события в n независимых испытаниях, (среднее число появлений события n в испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Док-во: Пусть даны вероятность наступления события А в одном испытании р и число независимых испытаний n. Обозначим . Подставим это выражение в формулу Бернулли:

При достаточно большом n и сравнительно небольшом m все выражения в скобках, за исключением предпоследнего, можно принять равными единице, т.е.

. Учитывая то, что n достаточно велико, правую часть этого выражения можно рассмотреть при , т.е. найти предел .

Тогда получим: Ряд распределения  закона Пуассона имеет вид:

xi	0	1	2	...	m	...
pi				...		...

Очевидно, что определение закона Пуассона корректно, так как основное свойство ряда распределения выполнено, ибо сумма ряда

(учтено, что в скобках записано разложение в ряд функции при ).

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределённой по  закону Пуассона, совпадают и равны значению параметра этого закона, т. е.

При условии закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность p события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.

Замечание. Если случайная величина представляет собой сумму двух независимых случайных величин, распределённых по закону Пуассона, то она также распределена по закону Пуассона.

 На рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей закон распределения Пуассона с параметром  (для =0,5; 1; 2; 3,5; 5).

m

19.Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше х, т.е. F(x)= P (X<x).

Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

СВОЙСТВА:

1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1]:

0≤F(x) ≤1

Док-во: Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

2. F(x)–неубывающая функция, т.е. F(x₂)≥F(x₁), если x₂>x₁

Док-во: Пусть x₂>x_1. Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньше x_2, можно подразделить на следующие два несовместных события: 1) Х примет значение, меньшее x_1, с вероятностью P(X< x₁);

2) X примет значение, удовлетворяющее неравенству x₁≤Х< x_2, с вероятностью P(x₁≤Х< x₂).

По теореме сложения имеем

P(X<x₂)=P(X< x₁)+ P(x₁≤Х< x₂).

Отсюда

P(X<x₂)- P(X< x₁)= P(x₁≤Х< x₂),

или

F(x₂)- F(x₁)= P(x₁≤Х< x₂)

Т.к любая вероятность есть число неотрицательное, то F(x₂)- F(x₁) ≥0, или F(x₂)≥F(x₁), ч.т.д.

Следствие 1:

Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a≤Х<b)= F(b)-F(a). Это важное следствие вытекает из формулы, если положить x₂=b, x₁=a.

Следствие 2:

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равно 0.

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b),то:1) F(x)=0 при x≤a; 2) F(x)=1 при х≥b.

Док-во: 1) Пусть х1≤a. Тогда событие Х<x1, невозможно (т.к. значений, меньших х1, величина Х по условию не принимает) и, следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Пусть х₂ ≥b. Тогда событие Х<x₂ достоверно (т.к. все возможные значения Х меньше х₂) и, следовательно, вероятность его равна единицы.

Следствие: Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливо следующие предельное соотношение:

lim F(x)=0: lim F(x)=1.

(x→ - ∞) (x→ ∞)