12. Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины

Величина называется случайной, если в результате опыта она не может принимать любые заранее неизвестные значения, т.е. это функция, определенная на множестве событий.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения в области целых чисел. Например, число ежедневно продаваемых в магазине холодильников является дискретной случайной величиной.

Множество значений случайных величин:

R₁Дискретная случайная величина

-2 0 2

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга. Примером непрерывной случайной величины является время заправки автомашины на автозаправочной станции.

R₁Непрерывная случайная величина

p а b

Случайная величина обычно обозначается прописной буквой латинского алфавита (Х,Y), её конкретные значения – строчными буквами (х,у). Для дискретных случайных величин при решении конкретных задач указываются их возможные числовые значения. Например, х₁=3, х₂=1, х₃=5

13. Закон распределения дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень её возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения x_i, а вторая – вероятности р_i:

Х	х₁	х₂	…	х_n
р	р₁	р₂	…	р_n

Где

Если множество возможных значений Х бесконечно (счетно), то ряд р₁+р₂+…сходится и его сумма равна единице.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан также аналитически (в виде формулы): или с помощью функции распределения: F(x)=Р(Х<х)

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки и соединяют их отрезками. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

р_i

х_i

14. Функция распределения дискретной случайной величины

Пусть дискретная случайная величина Х может принимать n значений х₁, х₂, …, х_n . Для полной характеристики этой случайной величины должны быть заданы ещё и вероятности появления указанных значений р₁, р₂,…., р_n . Дискретные значения случайной величины и вероятности их появления удобно записывать в следующем виде:

Х	х₁	х₂	…	х_n
р	р₁	р₂	…	р_n

Для дискретной случайной величины, так же как и для непрерывной, вводится понятие функция распределения, которая представляет собой вероятность события X<x, где х – задаваемые непрерывно изменяющиеся значения, т.е. F(x)=Р(Х<х)

Если дискретные значения случайной величины х₁,х₂,…х_nрасполагались в порядке возрастания, то каждому значению х_iэтих величин ставится в соответствие сумма вероятностей всех предыдущих значений и вероятности р_i:

х₁	х₂	х₃	…
р₁	р₁+р₂	р₁+р₂+р₃	…

Так как до значения x₁случайная величина Х не встречалась, то и вероятность события Х<х₁равна 0. Для всех значений вероятность события Х<хсовпадает с вероятностью значения x₁, т.е. р₁. Но при х>x₂случайная величина уже может принимать два возможных значения х₁ и х₂, поэтому вероятность события Х<х для будет равна сумме вероятностей р₁ и р₂и тд Нанося на график возможные дискретные значения случайной величины х и соответствующие суммы вероятностей, получаем ступенчатую форму, которая и является графиком функции распределения вероятностей