6. Вероятн суммы несовместных событий. Следствия (о вероятн против события и суммы вер группы событий)

События несовместны, если не происходят одновременно

Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий A₁,A₂,..,A_n равна сумме вероятностей этих событий .

Док-во. Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий А₁ и А₂.

Пусть событию А₁ благоприятствуют m₁ элементарных исходов, а событию А₂-соответственно m₂ исходов. Тк события А₁ и А₂ по усл теор несовместны, то событию А₁+А₂ благоприятствуют m₁+m₂ элементарных исходов из общего числа n исходов. Следовательно, где P(A₁)-вероятность события А₁, P(A₂)-вероятность события А₂.

Следствие

Если события A₁,A₂,..,A_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Сумма вероятностей противоположных событий ровна единице.

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

7.Теорема сложения вер 2х совместных соб. Вер суммы неск совместн событий как вер появления хоты бы одно из неск событий.

Два события назыв совместными, если появление одн из них не искл появл другого в одном и том же опыте.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Док-во. Событие А+В наступит, если наступит одно из трех несовместных событий . По теореме сложения вероятностей несовместных событий .(1) Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: , АВ. Вновь применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем P(A)= +P(AB). Откуда P( )=P(A)-P(AB).(2) Аналогично для события В получаем Р(В)=Р( )=+P(AB). Откуда Р( )=Р(В)-Р(АВ) (3). Подставляя фор-лы 1,2,3 находим Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

8. Условная вероятнось. Завис и независ события. Теорема умножения вероятней ( для 2х событий)

Вероятностью события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, назыв условной вероятностью события А и обознач Р(А/B).

Если при наступлении события А вероятность события В (не) меняется, то события А и В назыв (не)зависимыми

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В).

Док-во. Предположим, что из n возможных элементарныхисходов событию А благоприятствуют m исходов, из кот k исходов благоприятствуют событию В. Тогда вероятность события А будет Р(А)= , условная вероятость события В относительно события А будет Р(В/А)= . Произв события А и В благоприятствуют только те исходы, кот благопр и событию А, и событию В одновременно, те k исходов. Поэтому вероятность произв события А и В Р(АВ)= . Умножив числитель и знаменатель этой дроби на m, получим Р(АВ)= =Р(А)Р(В/А) . Аналогично доказ и фор-ла Р(АВ)=Р(В)Р(А/В).