20. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

f(x)=F’(x).

СВОЙСТВА:

1. Плотность распределения -неотрицательная функция: f(x)≥0.

Док-во: Функция распределения –неубывающая функция, следовательно, ее производная F’(x)=f(x)- функция неотрицательная.

Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью Ох, либо на этой оси. График плотности распределения называют кривой распределения.

2. Несобственный интервал от плотности распределения в пределах от -∞ до ∞ равен единице:

∞

∫ f(x)dx=1

-∞

∞

Док-во: Несобственный интервал ∫ f(x)dx=1 выражает вероятность

-∞

события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащие интервалу (-∞,∞).Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна единице.

21. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Среднее квадратическое отклонение.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл M(X)= _a∫^bxf(x)dx

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то M(X)= _-∞∫^∞xf(x)dx

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a,b], то D(X)=_a∫^b[x-M(X)]²f(x)dx;

Если возможные значения принадлежат всей оси х, то D(X)=_-∞∫^∞[x-M(X)]²f(x)dx;

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины определяется, как и для величины дискретной, равенством σ(X)=√D(X).

22. Мода. Медиана. Наивероятнейшее число появления события в независимых испытания Бернулли. Геометрическая интерпретация числовых характеристик случайных величин.

Модой Mo непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, которому соответствует максимальное значение ее плотности вероятности.

Медианой Me непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, которое определяется равенством

P(X<Me(X))= P(X>Me(X))

Наивероятнейшее число появления события в независимых испытания Бернулли. ( 2 варианта, 2-ой дала Оля А.)

1.Если происходит несколько испытаний, причем вероятность события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события A.

Пусть производиться n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться либо не появиться. Вероятность события в каждом испытании одна и та же, равная p. Вероятность ненаступления события в каждом испытании q = 1 – p.

Вычислим вероятность P_n(k) того, что при n испытаниях событие A осуществляется ровно k раз и не осуществляется n – k раз по формуле Бернулли: ,

где p^k q^{n - k} – умножение вероятностей независимых событий; – столько можно составить сочетаний из n элементов и k элементов.

2.Наивероятнейшим числом испытаний называется число испытаний которым соответствует наибольшее вероятность.

Теорема: K₀- появление события A в n испытаниях вычисляется по формуле:

np-q≤k₀≤np+p

Геометрическая интерпретация числовых характеристик случайных величин. (не факт что верно, но скорее всего, инфа из Интренета, в книгах нет)

Числовые характеристики случайных величин. Числовые ха­рактеристики случайных величин делят на 3 группы: а) харак­теристики положения случайной величины на числовой оси (ма­тематическое ожидание, мода, медиана); б) характеристики рас-

сеяния вокруг некоторого центра группирования (дисперсия, среднее квадратическое отклонение); в) моменты (начальные и центральные).

Математическое ожидание М(Х) (или т_x) — это среднее значение случайной величины Х из генеральной совокупности:

Рис. 1. Показатели несимметричности кривых распределения:

а — положительная ассиметрия; б — отрицательная ассиметрия

23.Равномерное распределение: плотность, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия.

Непрерывная случайная величина считается равномерно распределенной, если ее плотность вероятности имеет вид

0, если x≤x₁

f(x)={ 1/x₂-x₁, если x₁<x≤x₂,

0, если x>x₂.

Математическое ожидание случайной величины, имеющий равномерное распределение,

M_x=x₂+x₁/2

Дисперсия: D_x= (x₂-x₁)²/12.