27. Математичні властивості середньої арифметичної.
Середня арифметична має певні математичні властивості, які розкривають її суть. Так, сума відхилень окремих варіант від середньої дорівнює нулю, а сума квадратів таких відхилень наближається до мінімуму. Ці дві властивості покладені в основу вивчення варіації ознак.
Алгебраїчна сума відхилень окремих варіант ознаки від середньої дорівнює нулю:
,
тобто в середній взаємно компенсуються додатні та від’ємні відхилення окремих варіант.
Сума квадратів відхилень окремих варіант ознаки від середньої менша, ніж від будь-якої іншої величини:
Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) на одну і ту саму величину С або в С раз, то й середня зміниться аналогічно.
28. Середня арифметична, способи обчислення. Приклад.
Середня арифметична використовується для осереднення прямих значень ознак шляхом їх підсумовування.
Якщо дані не згруповані - використовується середня арифметична проста:
=
Якщо дані згруповані - використовується середня арифметична зважена за частотою:
за
часткою:
(d
– в коефіцієнтах)
(d
– в процентах)
Комерційний банк залучив депозити під такі
проценти в національній валюті:
Депозитна ставка, % |
х |
23 |
10 |
13 |
6 |
7 |
11 |
Разом |
Кількість вкладів |
f |
10 |
15 |
12 |
6 |
3 |
4 |
50 |
Питома вага вкладів, % |
d |
20 |
30 |
24 |
12 |
6 |
8 |
100 |
Обчислимо середню депозитну ставку, %:
а) за частотою
б) за часткою
Осередненню
підлягають не тільки окремі значення
варіант. а також їх групові середні
,
тоді вагою буде частота (частка) кожної
групи. Обчислену так середню називають
загальною (середньою з групових).
Приклад:
Продаж річних облігацій державної внутрішньої позики на первинному та вторинному ринках характеризується даними:
Ринок |
Середній термін обертання облігацій, міс. |
Кількість проданих облігацій, тис. шт. |
Первинний |
10 |
9 |
Вторинний |
4 |
3 |
Визначте середній термін обертання облігацій по двох ринках у цілому.
Розв‘язування:
Використаємо
формулу
де
- групова середня;
-
загальна середня;
- частота групи.
У
нашому прикладі
= 10,
= 4,
= 9,
= 3.
Обчислимо
міс.
Таким чином, загальний середній термін обертання облігацій 8,5 міс.
29. Середня хронологічна. Приклад.
Середня хронологічна використовується для осереднення моментних показників. Якщо є два моментних показника (на початок і на кінець періоду), то середня розраховується як півсума значень за формулою:
,
- значення показника
на початок періоду;
-
значення показника на кінець періоду.
Наприклад:
Капітал банку на початок І кварталу 50 млн.у.г.о., а на кінець – 60 млн.у.г.о.
Обчислимо середній розмір капіталу банку за І квартал.
млн.у.г.о.
Якщо моментів більше ніж два, а інтервали часу між ними рівні, то у чисельнику до півсуми крайніх значень додають усі проміжні, а знаменником є число, яке на одиницю менше від числа значень ознаки.
Така формула називається середньою хронологічною .
Наприклад:
Залишки коштів на рахунку клієнта у банку на початок кожного місяця становили, тис.грн.: липень 50, серпень 60, вересень 62, жовтень 80.
Обчислимо середньомісячний залишок коштів за ІІ квартал.
тис.
грн.