Экзаменационный билет № 5

1. Механические колебания и волны. Гармонические колебания. Дифференциальное уравнение незатухающих колебаний. Математический, пружинный, физический маятники. Энергия гармонических колебаний. Сложение гармонических колебаний. Фигуры Лиссажу. Биения. Затухающие колебания. Логарифмический декремент затухания. Добротность. Затухающие колебания на примере пружинного маятника. Вынужденные колебания. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс.

2. Основные характеристики атомного ядра и их физическая интерпретация; состав атомного ядра. Ядерные силы, их природа и основные характеристики; мезонная теория ядерных сил. Современные модели атомного ядра и их физическая интерпретация.

5. Механические колебания и волны. Гармонические колебания. Дифференциальное уравнение незатухающих колебаний. Математический, пружинный, физический маятники. Энергия гармонических колебаний. Сложение гармонических колебаний. Фигуры Лиссажу. Биения.

Затухающие колебания. Логарифмический декремент затухания. Добротность. Затухающие колебания на примере пружинного маятника. Вынужденные колебания. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс.

Колебаниями называются процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени. Механические колебания (колебания маятников, струн, частей машин, давления воздуха при распространении в нем звука, волнение моря и т.д.) Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением x = x_m cos (ωt + φ₀).

Здесь x – смещение тела от положения равновесия, x_m – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω=2πν=2π/Т – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ₀ называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ₀, поэтому φ₀ называют начальной фазой.

Гармонически колеблющаяся величина удовлетворяет дифференциальному уравнению

М атематическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. Представляет собой предельный случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре масс.

Груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно (рис. справа), составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором (пружинным маятником). Уравнение движения, которому подчиняется такой маятник:

Или

Л юбое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим. Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия: M=-(mg*sinφ)d

Здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C.

В отсутствии сил трения в подвесе уравнение движения маятника имеет вид:

При малых колебаниях уравнение имеет вид

Тогда циклическая частота и период малых колебаний

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. При гармонических колебаниях сумма E_p(t)+E_k(t)=E=const

Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают 2 предельных случая – сложение колебаний одинакового направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Сложение двух одинаково направлениях гармонических колебаний x₁=A₁sin(ω₁t +φ₁) и x₂=A₂sin(ω₂t +φ₂) можно произвести, воспользовавшись методом векторных диаграмм. Два гармонических колебания x1и x2 называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени и в любой момент равна разности их начальных фаз.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с циклическими частотами pω и qω, где р и q- целые числа: x=A₁sin(рωt +φ₁) и

y=A₂sin(qωt +φ₁)

Pyfxtybt rjjhlbyfn

Значение координат х и у колеблющейся точки М одновременно повторяются через одинаковые промежутки времени Т_0, равные общему наименьшему кратному Т₁=2π/pω и Т₂=2π/qω – периодов колебаний вдоль осей ОХ и ОУ. Поэтому траектория точки М – замкнутая кривая, форма которой зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Эти траектории называются фигурами Лиссажу. (На рис. Вверху φ₁-φ₂ , внизу q/p)

Н егармонические колебания, получающиеся в результате наложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с близкими частотами (|ω₁-ω₂|<ω₁)? Называются биениями. Величина |A(t)|, характеризующая размах колебаний при биениях, изменяется в пределах от |A₁-A₂| до A₁+A₂ с циклической частотой Ω=|ω₂-ω₁| , называемой циклической частотой биений.

Затухающие колебания.

В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид:

Здесь β=const>0 - коэффициент затухания, а ω₀ - циклическая частота сводных незатухающих колебаний той же системы.

Свободные затухающие колебания на примере пружинного маятника.

На маятник массы м, совершающий прямолинейные колебания вдоль оси ОХ под влиянием силы упругости пружины, действует также сила сопротивления F_сопр=-bv, где v - скорость маятника, а b=const>0–коэффициент сопротивления. Дифференциальное уравнение в этом случае:

где β=b/2m

Логарифмический декремент затухания

где N -число колебаний, в течении которых амплитуда уменьшается в e раз, τ время релаксации.

Добротностью колебательной системы называется безразмерная физическая величина Q, равная

К олебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными. Дифференциальное уравнение вынужденых колебаний простейшей линейной системы – пружинного маятника – происходящих под влиянием внешней силы F(t):

или

Решением этого уравнения будет уравнение вида

Где ω=(ω₀²-β²)^1/2 амплитуда А=А₀e^-βt

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω₀, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Резонансные кривые при различных уровнях затухания: 1 – β=0; при резонансе амплитуда x_m вынужденных колебаний неограниченно возрастает; β₂<β₃<β₄

36. Основные характеристики атомного ядра и их физическая интерпретация; состав атомного ядра. Ядерные силы, их природа и основные характеристики; мезонная теория ядерных сил. Современные модели атомного ядра и их физическая интерпретация.

Заряд ядра. Величина заряда атомного ядра определяет количество электронов в атоме, конфигурацию электронного облака в объеме атома, величину и характер электрического поля, от которого в конечном итоге зависят физико-химические свойства атомов. Заряд ядра положителен и кратен элементарному заряду e=1.6021·10^-19 К, и его можно представить как Z·e, где Z- атомный номер. В ядерной физике принято измерять массы атомов и ядер в относительных единицах. Для этого вводится величина, называемая атомной единицей массы (а.е.м.). За 1 а.е.м. принимается 1/12 массы атома углерода ₆С¹². 1 а.е.м.=1/12 массы атома С¹²=1.6710^-27кг = (931.4780.015)МэВ.

Изотопы - атомы, обладающие различной массой, но одинаковым зарядом. Например, атомный вес германия равен 72.60. Германий содержит 5 изотопов ⁷⁰Ge – 21.2% ⁷²Ge – 27.3%

Наряду с изотопами, в природе встречаются ядра, имеющие одинаковое массовое число А, но различные зарядовые числа Z. Такие ядра называются изобарами. Начиная с массового числа А=36, для ядер с четным А устойчивые изобары обычно встречаются парами. Например,

₁₈Ar⁴⁰ – ₂₀Ca⁴⁰ ₂₄Cr⁵⁴ – ₂₆Fe⁵⁴ ₃₂Ge⁷⁶ – ₃₄Se⁷⁶

Ядра, содержащие одинаковое число нейтронов, но разное число протонов, называются изотонами. Примером ядер изотонов N=1 ₂He³ – ₁H² N=2 ₂He⁴ – ₃Li⁵ N=3 ₃Li⁶ – ₄Be⁷

Существуют радиоактивные ядра с одинаковыми Z и A, но отличающиеся периодом полураспада. Они называются изомерами. ₃₅Br⁸² с периодами полураспада 18 мин и 4.4 час.

Формально можно построить ядро из протонов и электронов. Например, в ядре гелия, согласно этому предположению, должно быть четыре протона (тогда масса ядра будет равна четырем) и два электрона (тогда заряд будет равен (+2)).

Протонно-нейтронное строение ядер подтверждается не только огромным числом фактов и теоретических соображений, но и непосредственным наблюдением полного расщепления ядер на протоны и нейтроны. Протоны и нейтроны, входящие в состав атомного ядра, объединяют общим понятием – нуклоны.

Если в ядре происходит превращение нейтрона в протон по схеме n p+e^-+^ то такое ядро испускает электрон и антинейтрино. Если же в ядре происходит превращение протона в нейтрон по схеме p n+e⁺+ то такое ядро испускает позитрон и нейтрино.

Итак, в настоящее время представление о протонно-нейтронном составе атомного ядра подтверждается большим экспериментальным материалом и считается общепризнанным.

Протон – представляет собой ядро самого легкого изотопа водорода. Его заряд положителен и равен 1.610^-19 Кл, масса m_p=1.008245 а.е.м. Протон имеет спин S_p=1/2 . Протон – частица стабильная, однако внутри ядра он может превращаться в нейтрон по указанной выше схеме.

Нейтрон – является частицей, не обладающей электрическим зарядом. Его масса m_n=1.008982 а.е.м. Разница между массой нейтрона и протона составляет величину m=2.5m_e. Нейтрон обладает спином S_n=1/2. В свободном состоянии нейтрон нестабилен. В случае атомных ядер мы сталкиваемся с новым видом взаимодействия, с новыми силами. Это взаимодействие получило название сильного, а отвечающие ему силы – ядерных сил.

Ядерные силы являются силами притяжения и велики по абсолютной величине. Как известно, энергия связи электрона в атоме водорода равна 13.6 эВ, в то время как средняя энергия связи нуклона в ядре, как мы увидим позже, составляет величину порядка 7.5-8 МэВ. Это объясняет исключительную устойчивость атомных ядер.

В отличие от электромагнитных и гравитационных сил, ядерные силы являются короткодействующими и с увеличением расстояния между нуклонами они очень быстро убывают.

Ядерные силы обладают зарядовой независимостью. Это означает, что величина ядерных сил, действующих между нуклонами, не зависит от того, обладают нуклоны зарядом или нет. Другими словами, силы взаимодействия между (p,p), (n,n) или (n,p) одинаковы. Это свойство ядерных сил носит фундаментальный характер и указывает на глубокую симметрию между двумя частицами – протоном и нейтроном. Оно позволяет рассматривать протон и нейтрон как два состояния одной и той же частицы – нуклона.

Важнейшим свойством ядерных сил является их зависимость от взаимной ориентации спина и орбитального момента каждого нуклона, т.е. спин-орбитальный характер.

Специфический характер ядерных проявляется также и в том, что величина силы ядерного взаимодействия между нуклонами зависит не только от расстояния между ними, но и от взаимной ориентации их спинов.

Ядерные силы не являются центральными. Ядерные силы обладают свойством насыщения, свидетельствующее о том, что каждый нуклон в ядре взаимодействует только с ограниченным числом ближайших соседних нуклонов. Обменный характер ядерных сил.

Капельная модель была предложена Н.Бором в 1935 г.

- Плотность ядерного вещества постоянна для всех ядер, т.к. объем ядра пропорционален числу А частиц в ядре. Плотность жидкости также постоянна и не зависит от ее размеров.

- Для всякой жидкости энергия межмолекулярной связи, рассчитанная на одну молекулу, почти не зависит от размеров капли, если только капля не слишком мала.

- Для всех жидкостей характерно, что радиус действия межмолекулярных сил сцепления по порядку величины близок к среднему расстоянию между молекулами жидкости.

- Для жидкости характерна большая подвижность молекул, несмотря на их компактное расположение. При этом средняя длина свободного пробега молекулы мала по сравнению с размером капли. Аналогично и в ядрах, несмотря на огромную плотность ядерной материи, нуклоны в ядрах сохраняют свою подвижность. При этом средняя длина свободного пробега нуклонов в ядре также мала по сравнению с диаметром ядра.

- Переход нуклонов из свободного состояния в состояние «ядерного вещества» можно уподобить конденсации пара в жидкость.

Модель ядра из α-частиц.

Предложено рассматривать α-частицы в ядре как короткоживущие, но сравнительно устойчивые образования, возникающие внутри ядра. Через некоторое время после своего образования α-частицы вновь распадаются на нуклоны. Это время должно быть больше периода колебания и вращения α-частичного образования. Продукты распада данной и других распадающихся α-частиц перестраиваются в новые α-частицы и т.д.

Модель Ферми-газа

Если движение нуклонов в ядре имеет хаотический характер и можно воспользоваться статистическим методом рассмотрения, то ядро можно уподобить разреженному Ферми-газу, находящемуся в замкнутом объеме.

Модель ядерных оболочек

Считается, что нуклоны квазинезависимы и движутся в усредненном потенциальном поле ядра, создаваемым всеми остальными нуклонами ядра, и их движение может быть рассчитано в соответствии с законами квантовой механики. Нуклоны являются фермионами и подчиняются статистике Ферми-Дирака и принципу Паули. Кроме того, движение каждого нуклона характеризуется орбитальным квантовым числом l. В ядре имеет место сильное взаимодействие между орбитальным механическим моментом l и его спином S, другими словами – сильная спин-орбитальная связь. В результате этой связи уровень энергии нуклона для данного значения квантового числа l (за исключением l=0) расщепляется на два подуровня, характеризуемых значениями полного момента импульса j, равными (l+1/2) и (l-1/2), которые соответствуют проекции спинов (+1/2) и (-1/2).

Обобщенная модель ядра

она была развита О.Бором (сыном Н.Бора) и Б.Моттельсоном (1952-1953 гг) и соединяла в себе достоинства оболочечной модели и модели жидкой капли.