2 Волновая функция и ее свойства. Уравнения Шредингера для стационарных состояний. Принцип причинности в квантовой механике

1.Положение частицы в пространстве в данный момент времени определяется в квантовой механике заданием волновой функции (Ψ-функции) Ψ(x,y,z,t). Вероятность того, что частица находится в элементе объема dV пропорциональна и элементу объема dV: dω=│Ψ│²dV , -где │Ψ│² - квадрат модуля функции: │Ψ│²=ΨΨ* . здесь Ψ*-волновая функция , комплексно сопряженная с Ψ. Величина │Ψ│² есть плотность вероятности │Ψ│² = ωd/dV = ρ и задает вероятность пребывания частицы в данной точке пространства. Интенсивность волны де Бройля определяется величиной │Ψ│² .

2.Из определения функции следует условие нормировки вероятностей: ∫│Ψ│²dV=1 , -где тройной интеграл по объему вычисляется по координатам x, y и z от -∞ до +∞, т.е. по всему бесконечному пространству. Условие нормировки указывает на то, что частицы где-нибудь в пространстве есть достоверное событие и его вероятность должна быть равна единице.

3.Волновая функция Ψ(x,y,z,t) является основной характеристикой состояния микрообъектов (атомов, молекул, элементарных частиц). С ее помощью вычисляется среднее значение физической величины L, характеризующей объект, находящийся в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ,

<L> = ∫∫∫ L│Ψ│²dxdydz , где <L> - среднее значение величины L, а интегрирование проводится так же, как указано в п.2.

4.Временным уравнением Шредингера называется основное дифференциальное уравнение квантовой механики относительно волновой функции Ψ(x,y,z,t). Оно определяет Ψ-функцию для микрочастиц, движущийся в силовом поле с потенциальной энергией U (x,y,z,t) со скоростью v<<c , где с – скорость света в вакууме. Уравнение Шредингера имеет вид: iħ = - ћ²/\Ψ /2m + U (x,y,z,t) Ψ

Где /\ - оператор Лапласа, m – масса частицы, ћ = h/2п , h – постоянная Планка, i = - мнимая единица.

Уравнение Шредингера дополняется условиями, которые накладываются на Ψ –функцию:

А) функция Ψ должна быть конечной, однозначной и непрерывной.

Б) производные , и должны быть непрерывны.

В)функция | Ψ |2 должна быть интегрируема, т.е. интеграл от + до – должен быть конечным. Это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей п.2.

5. В случае, когда Ψ -функция не зависит от времени Ψ(x,y,z,), она удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера: /\Ψ + 2m/ћ²(W-U) Ψ

где W- полная энергия частицы. Остальные обозначения см. в п.4 Функции Ψ , удовлетворяющие уравнению Шредингера при заданном значении U (x,y,z,), называются собственными функциями. Они существуют лишь при определенных значениях W, называемых собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений W образуют энергетический спектр частицы. Если U – монотонная функция и U->0 на бесконечности, то в области W<0 собственные значения энергии образуют дискретный спектр. Отыскание собственных значений и собственных функций составляет важнейшую задачу квантовой механики.

6. Временное уравнение Шредингера имеет решение: Ψ(x,y,z,t) = Ψ(x,y,z,)е ^–iWt/ћ

Состояние частицы в данный момент времени описывается периодической функцией времени с циклической частотой, определяемой полной энергией W частицы. Это соответствует связи полной энергии частицы W с частотой волны де Бройля.

Если частица находится в определенном энергетическом состоянии с энергией W=const , то вероятность обнаружить ее в элементе объема dV не зависит от времени:

= ׀Ψ׀²dV = ΨΨ*dV = ׀Ψ׀²dV Такое состояние частицы называется стационарным состоянием. Атом, находящийся в стационарном состоянии, имеет постоянную энергию и не излучает электромагнитных волн.

Принцип причинности в квантовой механике.

Из соотношения неопределенностей часто делают вывод о неприменимости принципа причинности к явлениям, происходящим в микромире. При этом основываются на следующих соображениях. В классической механике, согласно принципу причинности –принципу классического динамизма, по известному состоянию системы в некоторый момент времени (полностью определяется значениями координат и импульсов всех частиц системы) и силам, приложенным к ней, можно абсолютно точно задать ее состояние в любой последующий момент. Следовательно, классическая физика основывается на следующем понимании причинности: состояние механической системы в начальный момент времени с известным законом взаимодействия частиц есть причина, а ее состояние в последующий момент – следствие. С другой стороны, микрообъекты не могут иметь одновременно и определенную координату, и определенную соответствующую проекцию импульса (задается соотношением неопределенности), поэтому и делается вывод о том, что в начальный момент времени состояние системы точно не определяется. Если же состояние системы не определено в начальный момент времени, то не могут быть предсказаны и последующие состояния, т.е. нарушается принцип причинности.

Однако никакого нарушения принципа причинности применительно к микрообъектам не наблюдается, поскольку в квантовой механике понятие состояния микрообъекта приобретает совершенно другой смысл, чем в классической механике. В квантовой механике состояние микрообъекта полностью определяется волновой функцией Ψ(x,y,z,t), квадрат модуля которой ׀Ψ(x,y,z,t)׀²задает плотность вероятности нахождения частицы в точке с координатами x, y, z.

В свою очередь, волновая функция Ψ(x,y,z,t) удовлетворяет уравнению Шредингера, содержащую первую производную функции Ψ по времени. Это же означает, что задание функции Ψ₀ (для момента времени t₀) определяет ее значение в последующие моменты. Следовательно, в квантовой механике начальное состояние Ψ₀ есть причина, а состояние Ψ в последующий момент – следствие . это и есть форма принципа причинности в квантовой механике, т.е. заданием функции Ψ₀ предопределяет ее значения для любых последующих моментов. Таким образом, состояние системы микрочастиц, определенное в квантовой механике, однозначно вытекает из предшествующего состояния, как того требует принцип причинности.