Экзаменационный билет № 4

1. Динамика вращательного движения абсолютно твердого тела. Момент силы и момент импульса Основное уравнение динамики вращательного движения. Момент инерции. Закон сохранения момента импульса и его связь с изотропностью пространства. Кинетическая энергия вращающегося тела. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Свободные оси. Гироскоп и его практическое применение.

2. Радиоактивность и закономерности радиоактивного распада; процессы сопровождающие радиоактивный распад и их физическая интерпретация.

4. Динамика вращательного движения абсолютно твердого тела. Момент силы и момент импульса Основное уравнение динамики вращательного движения. Момент инерции. Закон сохранения момента импульса и его связь с изотропностью пространства. Кинетическая энергия вращающегося тела. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Свободные оси. Гироскоп и его практическое применение.

Момент действующей силы.

1. М омент силы относительно точки.

Пусть имеется некоторое твердое тело, одна из его точек однозначно определена вектором r, а действующая сила равна F.

(1)

Момент силы относительно точки – это векторное произведение радиус-вектора на вектор действующей силы. где  – угол между радиусом-вектором и действующей силой.

Разложим вектор силы F на две составляющие: радиальную составляющую F_r (спроектируем на направление || = 1) и тангенциальную составляющую F_. F_ = F  sin  M = r  F_

Момент действующей силы относительно точки численно равен произведению радиус-вектора на тангенциальную составляющую действующей силы.

r является плечом силы F_.

l – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до направления действующей силы).

И з  ОСА: l = r  sin  (5) М = l F (6)

Момент действующей силы равен произведению действующей силы на плечо силы.

Направление момента действующей силы определяется исходя из следующего:

1 ) М r, М F (момент силы, в соответствии с правилом векторного произведения, перпендикулярен и r, и F).

2 ) Определяем направление вектора М по правилу «правого винта»: если рукоятка буравчика будет двигаться по кратчайшему пути при повороте от первого вектора (r) ко второму вектору (F), то направление рукоятки буравчика укажет направление момента действующей силы.

2. Момент пары сил.

Рассчитаем момент пары сил, при условии что:

П усть на некоторую т. А действует сила F₁, на некоторую т. В действует сила F₂. Предположим, что F₁ = F₂ и F₁ = – F₂ (т.е. силы одинаковы по величине, но противоположны по направлению).

r ₁ – радиус-вектор, однозначно определяющий точку приложения силы F₁;

r ₂ – радиус-вектор, однозначно определяющий точку приложения силы F₂.

(1)

Рассчитаем модуль момента пары сил: М = r_AB  F₂  sin , где  – угол между r_AB и F₂.

М = r_AB  F₂  sin  = r_AB  F₂  sin (180 – ) = F₂  l (2) где l – плечо пары сил.

l = r_AB  sin (180 – ) = r_AB  sin 

Момент пары сил численно равен произведению одной из сил на плечо силы (кратчайшее расстояние между действующими силами).

3. Момент внутренних сил. Момент внутренних сил равен нулю.

4. Момент силы относительно оси вращения.

М оментом силы относительно оси вращения называется проекция вектора М на заданную ось.

Определим момент силы относительно оси z:

(2)

Момент силы относительно оси вращения не зависит от выбора начала координат, лежащей на оси вращения.

Импульс, момент импульса материальной точки. p = m v (1)

Импульс силы – это физическая величина, численно равная произведению массы на скорость

Момент импульса силы – это физическая величина, равная векторному произведению радиуса-вектора на импульс материальной точки:

(2) (3) (4) , (4) подставим в (3) (5)

{[a.[b,c]] = b (ac) – c (ab)}

(6)

L = mvr (7)

v =  r (8) L = m  r² = mr²  = I  (9)

Уравнение момента импульса.

Момент импульса – это физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора на импульс:

(1) (2) (3) (4) (5)

[ ]

(5) – уравнение момента импульса для материальной точки:

Закон сохранения момента импульса: момент импульса в изолированной системе есть величина постоянная.

(1) (2) I = const. => I  , I  

О сновное уравнение динамики вращательного движения.

Пусть имеется некоторое твердое тело, вращающееся вокруг оси z.

F = ma f_{ i} = m_ia_i (1) v = r; a = r , a_i = _ir_i = r_i (2)

f_{ i} = m_ir_i (3) f_{ i} r_i = m_ir_i² (4) (5)

(6) I = (7) М = – момент силы (8)

М = I   (9) – основное уравнение динамики вращательного движения: момент действующей силы равен произведению момента инерции на угловое ускорение.

З апишем соотношение (9) в векторной форме: М = I   (10) F = ma (11) (12)

( 12) подставим в (10) : (13) где L = I  .

L – момент импульса – это физическая величина, равная произведению момента инерции действующей силы на угловую скорость: L = I   (p = m v).

– уравнение импульса: момент действующей силы равен первой производной от момента импульса по времени.

Момент действующей силы – это физическая величина, равная изменению момента импульса в единицу времени. (14) (15)

М  dt – импульс момента действующей силы. dL – изменение момента импульса.

Импульс момента действующей силы равен изменению момента импульса: .

Кинетическая энергия при вращательном движении.

Вращательным движением называется такое движение, при котором все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых находятся на оси, называемой осью вращения.

(1) (2)

Определим Е_k твердого тела:

(3)

v_i = r_i  _i =   r_i (4)

(5)

I (6)

где I – момент инерции.

Момент инерции – это физическая величина, численно равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояния до оси вращения:

I С учетом (6) уравнение (5) будет иметь следующий вид: (7)

(7) – кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении.

Физический смысл момента инерции: момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении.

Момент инерции – это физическая величина, численно равная пределу суммы произведения элементарных масс на квадрат их расстояния до оси вращения, когда m_i стремится к физически очень малой величине: .

Теорема Штейнера (расчет моментов инерции относительно осей, не проходящих через центр масс).

I₀ – момент инерции данного тела относительно центра масс;

I_z’ – момент инерции донного тела относительно оси, не походящей через центр масс. а

Док-во теоремы Штейнера:

1). Выберем неподвижную инерциальную систему S и подвижную – S’.

r – радиус-вектор, однозначно определяющий положение т. А относительно неподвижной системы отсчета;

r’ – радиус-вектор, однозначно определяющий положение т. А относительно подвижной системы отсчета;

R – радиус-вектор, однозначно определяющий положение начала координат неподвижной системы отсчета относительно подвижной системы отсчета.

И з  ОАО’: r = R + r’ (1)

Определим момент инерции тела относительно системы S:

(2)

Соответствующим подбором начала координат подвижной системы отсчета совместим точку О’ с центром масс неподвижной системы, тогда .

Теорема Штейнера: момент инерции (I) тела относительно оси, не совпадающей с центром масс, равен сумме момента инерции (I’) тела относительно оси, совпадающей с центром масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями: .

Свободные оси.

Свободная ось – это такая ось, положение которой в пространстве не изменяется в отсутствии внешних действующих сил.

Относ. вращ. вместе с равными телами, на тела действуют центростремительные силы F₁’ и F₂’.

m₁ = m₂, r₁ = r₂. F₁ = F₂, F₁’ = F₂’ (т.к., m₁ = m₂, r₁ = r₂)

О сь АВ будет сохранять свое направление неизменным в отсутствии внешних действующих сил, т.е. будет являться свободной осью.

Если m₁  m₂, то F₁’  F₂’, соответственно на эту систему будет действовать равнодействующая сил F₁’ и F₂’, и ось будет вращаться в пространстве.

Аналогично, если r₁  r₂, m₁ = m₂, то F₁’  F₂’ – ось АВ не является свободной.

Свободная ось, проходящая через центр масс, называется главной осью.

Д ля любого тела существуют три взаимно перпендикулярные оси, положение которых не изменяется в пространстве.

Для прямоугольного параллелепипеда главные оси – оси «ox», «oy», «oz».

– главные моменты инерции – моменты инерции относительно главных осей.

I_x  I_y  I_z.

Для тел симметричной формы главные оси определяются осями симметрии.

Условие устойчивого вращения тел относительно оси:

1. В отсутствии внешних действующих сил устойчивое вращение наблюдается относительно таких осей, относительно которых момент инерции принимает экстремальное (минимальное или максимальное) значение.

2. При наличии внешних действующих сил устойчивое вращение наблюдается относительно таких осей, относительно которых момент инерции принимает максимальное значение.

Гироскоп. Прецессия гироскопа.

Гироскопом называется массивное симметричное тело, вращающееся вокруг оси, совпадающей с осью симметрии данного тела.

1. определим вектор угловой скорости вращения волчка гироскопа () по правилу правого винта (бурав

2. чика);

3. найдем момент импульса и изобразим его: ;

4. (М направлен перпендикулярно плоскости рисунка (от нас) или направление вектора момента силы совпадает с отрицательным направлением оси «ох»);

5. I I-й закон динамики для вращательного движения: . dL по направлению совпадает с М.

т. Д будет удаляться от нас и за время dt угол будет равен d .

6.  – угловая скорость прецессии

Найдем угловую скорость прецессии. Рассмотрим  ОLL₁:

dL = L  d  (7) (7) подставим в (4)

(8) М = L   = I     (9) (10)

М = F  l (11) (12) (13)

Проанализируем (12): угловая скорость прецессии прямопропорциональна моменту действующей силы (М = F  l) и обратно пропорциональна произведению момента инерции на угловую скорость вращения волчка гироскопа.

Прецессия – это вращение гироскопа под действием внешних сил, не совпадающее с направлением вращения волчка гироскопа.

Применение гироскопа:

1. Уравновешенный гироскоп (астатический) с тремя степенями свободы. Пусть он быстро вращается вокруг своей оси фигуры. На направление оси фигуры гироскопа не оказывают влияния сила тяжести, вращение Земли, а также любые ускорения движения точки опоры. В отсутствии сил, создающих вращающие моменты относительно точки опоры, ось фигуры уравновешенного гироскопа сохраняла бы неизменное направление относительно звезд. Если ось фигуры гироскопа направить на какую-либо звезду, то, при перемещении последней по небесному своду, они будет поворачиваться относительно Земли, оставаясь при этом все время направленной на ту же звезду. Такой гироскоп позволяет обнаружить суточное вращение Земли.

2. Свойство уравновешенного гироскопа сохранять неизменным направление оси своей фигуры используется для автоматического управления движением самодвижущихся мин (торпед), самолетов, судов, ракет и прочих аппаратов. Момент импульса гироскопа должен быть достаточно большим, чтобы уменьшить влияние трения в подшипниках карданова подвеса и прочих вредных сил. Ось фигуры вращающегося гироскопа задает курс движения аппарата. При всяком отклонении аппарата от курса направление оси фигуры гироскопа в пространстве сохраняется. Значит, ось фигуры гироскопа вместе с рамами карданова подвеса поворачивается относительно движения аппарата. Поворот рам карданова подвеса с помощью тех или иных приспособлений включает двигатели, приводящие в действие рули управления. Последние и возвращают движение аппарата к заданному курсу. В случае торпеды достаточно одного гироскопа (т.к. движение только в одном направлении - горизонтальном), а в случае самолета – два (вертикальное и горизонтальное движение).

3. Важным применением неуравновешенного гироскопа с тремя степенями свободы является создание искусственных горизонта и вертикали. Это необходимо в навигации в условиях отсутствия видимости линии горизонта. Для определения вертикали на корабле или самолете используют вместо обычного гироскопический маятник (гирогоризонт) с очень большой приведенной длиной.

4. Важнейшим применением гироскопа является гироскопический компас, получивший широкое распространение на кораблях. Фуко предложил для этой цели использовать гироскоп с двумя степенями свободы в кардановом подвесе.

5. Фуко указал также, что гироскоп с двумя степенями свободы может быть использован в качестве инклинометра, т.е. прибора для определения географической широты места.

Гирокомпас и гироиклинометр Фуко не получили практического применения. Они лишь теоретически решают поставленные перед ними задачи. Благодаря медленности вращения Земли силы, воздействующие на гироскоп из-за такого вращения, ничтожно малы и не в состоянии преодолеть трение в подшипниках этих приборов.

6. Задача создания гирокомпаса была поставлена на практический анализ только после того, как стали использовать гироскоп не с двумя, а с тремя степенями свободы. Гироскоп должен быть астатическим. Но астатический гироскоп с тремя степенями свободы не подвержен влиянию вращения Земли. Эту трудность можно преодолеть, если взять гироскоп с каким-либо приспособлением, которое подвергалось бы воздействию указанного вращения и в свою очередь воздействовало бы на гироскоп.

7. Рассмотрим идею однорельсовой железной дороги. Вагон, катящийся по одному рельсу, неустойчив. Для стабилизации его движения можно применить массивный гироскоп с тремя степенями свободы, установленный внутри вагона. Роль наружного кольца карданова подвеса выполняют стенки вагона. Допустим, что вагон накренился вправо. Сила тяжести еще больше будет стремиться опрокинуть вагон в ту же сторону. Она создает вращающий момент, направленный за плоскость вагона параллельно продольной оси вагона. Через подшипники этот момент передастся гироскопу. Гироскоп начнет прецессировать, что вызовет наклон внутренней рамы. Если каким-либо способом ускорить эту прецессию, то возрастает вращающий момент сил противодействия со стороны гироскопа. Центр тяжести вагона начнет подниматься, и вагон вернется в вертикальное положение. Такое вынужденное ускорение прецессионного движения рамы должно выполняться автоматически. В устройстве соответствующего автомата и заключается вся трудность практического осуществления идеи однорельсовой дороги.

8. Гироскоп, называемый гиростабилизатором, применяется для устранения качки корабля. Обычно такие гироскопы представляют собой огромные маховые колеса, весящие несколько тонн и вращающееся со скоростью 1000 оборотов в минуту. Они обычно устанавливаются вертикально. Если начинается качка, то вращающийся гироскоп сопротивляется силе, которая стремится изменить направление его оси, и тем самым ослабляет качку.