1.4. Механика твердого тела.

Кинетическая энергия вращения. Момент инерции материальной точки и тела относительно неподвижной точки.

Пусть материальная точка массой m движется вокруг некоторой оси по окружности радиуса r со скоростью υ. Тогда кинетическую энергию точки с учетом связи линейной и угловой скоростей υ=ω·r можно записать так:

, где величина J=m·r² называется моментом инерции материальной точки.

Моментом инерции тела относительно оси называется сумма моментов инерции эле­ментов (материальных точек), из которых состо­ит тело: .

Момент инерции сплошного тела определя­ют интегрированием по всему объему (по всем материальным точкам): .

Если тело имеет плотность ρ, то последнее равенство можно представить в виде:

, где учтено, что d т = ρ·dV.

Момент инерции сплошного цилиндра мас­сой т и радиуса основания R относительно оси, проходящей через центр масс цилиндра па­раллельно его образующей, рассчитанный по этой формуле, равен: .

Для сплошного шара массой т и радиуса R момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс шара, равен: .

Момент инерции для стержня длиной ℓ и массой т относительно оси, проходящей через центр масс стержня перпендикулярно ему, : .

Момент инерции тела характеризует инертные свойства тела при вращательном движе­нии. Из определения J видно, что инертность тела при вращательном движении зависит не только от массы, но и от распределения ее в пространстве относительно оси. Момент инерции, так же как и масса тела, является ад­дитивной величиной.

Если известен момент инерции J_o тела от­носительно оси, проходящей через центр масс тела, то можно найти его момент инер­ции относительно любой другой параллельной ей оси: J = J₀ + m·d ², где d – расстояние между осями.

Последнее равенство выражает теорему Штейнера: момент инерции относительно любой оси вра­щения равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния центра масс тела от оси вращения.

Из теоремы Штейнера очевидно, что всег­да J>J₀, т.е. минимальное значение момента инерции до­стигается для оси, проходящей через центр масс.

Единицей момента инерции в системе СИ служит 1 кг·м².

Если тело катится, то кинетическая энергия такого тела определяется поступательным движением тела как целого и вращением относительно движущейся оси:

.

Момент импульса. Момент силы.

Основной характеристикой вращательного движения точки является момент импульса. Моментом импульса (или угловым мо­ментом) материальной частицы относительно точки О называется векторная величина , где – радиус-вектор, определяющий положе­ние частицы относительно точки О, – импульс частицы. Модуль этой величины равен L = r·p·sina. Вектор направлен перпендикулярно плос­кости, в которой лежат радиус-вектор и импульс так, что они ( , и ) образуют правовинтовую тройку, аналогичную тройке векторов _. Проекция вектора на произвольную ось Z , проходящую через точку О, называется момен­том импульса относительно этой оси: . С учетом того, что , можно записать для момента импульса .

Рассмотрим частицу, вращающуюся вокруг некоторой оси под действием силы , ле­жащей в плоскости, перпендикулярной оси вра­щения и приложенной к частице в точке с радиус-вектором . Аналогично моменту импульса опреде­ляется и момент силы относительно точки О: и относительно оси Z: .

Вектор характеризует способность силы вращать частицу вокруг точки О. Поэтому момент силы называют также вращающим момен­том.

Единицей момента импульса в СИ является 1кг·м²/с, а момента силы 1 Н·м.

Динамика твердого тела

Пусть на материальную точку действует сила . Умножим векторно правую и левую части уравнения движения этой точки на радиус-вектор точки приложения силы: .

Так как и , то заменяя, получим урав­нение динамики вращательного движе­ния материальной точки: .

Это уравнение легко обобщить на твердое тело, если под и понимать суммарный момент импульсов частиц , из которых состоит тело, и суммарный момент сил, , действующих на эти частицы. Приведем различные формы записи этого уравнения при неизменном моменте инерции (J=const):

.

Формально все соотношения, описывающие динамику вращательного движения, можно по­лучить из соответствующих соотношений дина­мики поступательного движения материальной точки, если в последних заменить массу тела на момент инерции, силу – на момент силы, им­пульс точки – на момент импульса тела, а ли­нейные скорость и ускорение – на угловые ско­рость и ускорение.

Из основного уравнения динамики для вращательного движения для замкнутой системы ( ) следует закон сохранения момента импульса: в инерциальной системе отсчета момент им­пульса замкнутой системы частиц остается по­стоянным как по величине, так и по направле­нию, т.е. .

В основе закона сохранения момента импульса лежит свойство изотропности (равноправности всех направлений) пространства, которое проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы не зависят от выбора направлений осей координат инерциальных систем отсчета..