2.4. Магнитное поле в вакууме.

Магнитное поле. Индукция . Сила Ампера

На рисунке приведен ряд опытных фактов: а) намагничен­ная стрелка компаса указывает на север; б) два намагниченных куска железа (два постоянных магнита) отталкиваются при сбли­жении одноименными полюсами; в) провод с током действует на магнитную стрелку компаса (опыт Эрстеда) ; г) постоянный маг­нит действует на п ровод с током (сила Ампера) ; д) два провода с одинаковым направлением тока притягиваются друг к другу, а с противоположно направленными токами – отталкиваются . Этот тип взаимодействия отличается от взаимодействия зарядов в электростатике тем, что силы возникают между намагниченными телами и движущи­мися зарядами.

Физическая система, распределенная в пространстве, в которой обнаруживаются силы, действующие на намагниченные тела или про­вода с током, называется магнитным полем.

К оличественно перечисленные явления описываются следующим образом. Выделим в проводе с током I участок dl и будем считать его вектором , направленным по току. Про­изведение (I· ) будем называть элементом тока. Магнитное поле в некоторой точке ха­рактеризуется вектором , который получил название магнитной индукции. Это такой вектор, который направлен от северного полю­са магнита к южному (вне магнита) и который, будучи умножен векторно на вектор (I· ), дает силу, действующую на этот элемент, причем и по величине, и по направлению . Это т.н. сила Ампера. Квадратные скобки означают векторное произведение. Для определения направления можно использовать правило буравчика. Если рукоятку вращать от первого вектора-сомножителя (I· ) ко второму , то направле­ние поступательного движения правого винта укажет на направ­ление вектора (рис.). Можно использовать и правило левой руки: если поставить левую руку так, чтобы силовые линии входи­ли в ладонь, а четыре пальца указывали направление тока, то ото­гнутый большой палец укажет направление силы. Абсолютная величина dF равна dF = I·dℓ· В · sinα, где α – угол между (I· ) и .

Если α= 90° и поле однородно, то можно перейти от формулы для бесконечно малых к формуле: F=I·ℓ·B, из которой можно получить единицу для измерения магнитной индукции В. Если I=1 А, ℓ=1 м, а сила F= 1 Н, то В будет равно 1 Тесла: 1 Тл = 1 Н/(А·м), т. е. это индукция такого магнитного поля, которое действует на провод длиной 1 м с током 1 А с силой 1 Н.

Рамка с током в магнитном поле

Н а практике часто встречается такое использо­вание силы Ампера: между полюсами магнита по­мещают прямоугольную рамку из провода, по которому течет ток Используя правило левой руки, находим, что на левый провод действу­ет сила, направленная от нас, а на правый – к нам (рис.).

В результате рамка будет поворачиваться.

Механический момент силы, действующий на одну сторону рамки , на обе стороны . Поскольку в нашем случае с рамкой , можно просто написать М = 2·r·F или, воспользовавшись упрощенной формулой для силы Ампера,: M = 2·r·F = 2·r·I·ℓ·B = I·S·B, где S = 2·r·ℓ – площадь рамки.

Назовем произведение I·S магнитным мо­ментом р_т рамки с током. Если рассматривать магнитный момент как вектор , направленный по нормали к плоскости рамки, то можно записать для : .

Магнитное поле, создаваемое проводом с током. Закон Био – Савара – Лапласа.

Если пропустить прямой провод с током I через лист фанеры, на котором насыпаны железные опилки, то окажется, что сило­вые линии около провода с током, вдоль которых располагаются маленькие магнитики-опилки, направлены всюду перпендикулярно этому току и представляют собой концентрические окружности (рис.). Их направление оп­ределяется по правилу правого буравчика.

Если ток круговой, то силовые линии со­здаваемого им поля будут такими, как показа­но на нижнем рисунке . Круговой ток – это элементарный магнит. Северным полюсом N магнита считается та сторона, откуда силовые линии выходят, южным S – куда силовые линии входят.

Б ио, Саваром и Лапласом было показано, что магнитное поле , создаваемое эле­ментом тока (I· ) на рас­стоянии r, следует находить по формуле: , где – коэффициент пропорциональности, μ₀ = 4л·10^-7Гн/м – магнитная постоянная. Согласно этой формуле, поле зависит не только от величины тока, создающего поле, и расстояния до точки наблюдения, но и от взаимного расположения векторов (I· ) и , т. е. от угла α (рис.). Сравним это выражение с аналогичным в случае электростатического поля, где , создаваемое зарядом dq, находилось по формуле: , но там вектор был параллелен . В случае же магнитного поля направление перпендикулярно и сильно зависит от угла α. Для магнитного поля также справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, созданное не­сколькими токами, равно векторной сумме маг­нитных полей, создаваемых каждым током в от­дельности: .

Поле в центре кругового тока (рис.). Определяя направление в центре окружности, мы видим, что все векторы , создаваемые в этой точке всеми участками , направлены одинаково (на рис. – от нас за чертеж). Следовательно, для нахождения обще­го можно просто все элементы dB складывать арифметически, так как для них α = 90°: .

П оле бесконечного прямого провода на расстоянии а от него (рис. ). В этом случае все векторы , создаваемые всеми уча­стками в т.М, тоже направлены одинаково, и их можно просто ариф­метически суммировать (интегрировать). Но теперь для каждого участка величины α и r будут разными. Для взятия интеграла удобнее все переменные свести к углу γ, провести интегрирование по γ от 0 до π/2 и результат удвоить: .

Ц иркуляция вектора по замкнутому контуру

Определение циркуляции C_А некоторого вектора по замкнутому контуру уже давалось в разделе «Электростатика». Для она запишется так:

, где θ – угол между и (рис.) .

Рассмотрим случай, когда контур охватывает ток I.

Будем для простоты считать, что магнитное поле созда­ется прямолинейным проводом с током I, направленным перпендикулярно рис. и от нас, т. е. в любой точке . При повороте на малый угол dφ: dx=a·dφ ; dx/dℓ=cosθ. Подставив под знак интеграла, получим : .

Если замкнутый контур охватывает несколько токов, то под I понимается алгебраическая сумма токов и теорему о циркуляции вектора можно сформулировать так: Циркуляция вектора равна алгеб­раической сумме токов, пронизывающих контур, умноженной на магнитную постоянную μ₀ .

Эту формулу удобно использовать для нахождения магнитной индукции В в различных случаях аналогично тому, как теорему Гаусса было удобно использовать для нахождения напряженно­сти электрического поля Е. Рассчитаем индукцию магнитного поля внутри тороида и длинного соленоида.

На рисунке б изображен тороид, на который намотано N витков провода с током I. Если выбрать контур по оси тороида (пунк­тир на рис.), то : , откуда получим: . Из этого выражения получим магнитную индукцию внутри длинной катушки – соленоида, если ее рассматривать как часть очень большого тороида: B=μ₀·n·I ( – густота намотки ).

Сила Лоренца. Движение заряженной частицы в магнитном поле

Ранее рассматривалась сила Ампера, действующая на эле­мент тока (I· ), в поле : (рис. а). Она является суммарной силой, действующей на все движущиеся по проводнику заряды. Найдем силу, действующую на отдельный малый заряд dq. Она получила название силы Лоренца (рис.б). Представим (I·dℓ) в виде (dq/dt)·dℓ =dq·υ. Тогда

, а для точечного заряда q

Ее направление определяется так же, как и направление силы Ампера (правило правого винта или левой руки). Важно отме­тить, что , как и всякое векторное произведение, перпендикуляр­на и . Это означает, что работа этой силы всегда равна нулю. Сила Лоренца может отклонять заряженную частицу, но не может изменить ее кинетическую энергию.

а). Скорость частицы параллельна полю ( || ). В этом слу­чае = 0 и поле на движение частицы не влияет. Частица движется равномерно и прямолинейно.

б). . В этом случае F_Л = q·υ·B и перпендикулярна к плоскости, в которой лежат и . Она заставляет части­цу заворачивать, играя роль центростремительной силы, обеспечива­ющей центростремительное ускорение

а_цс = υ²/R. Уравнение движения будет иметь вид: ,

из которого следует, что частица будет двигаться по окружности радиуса: , т.е. радиус окружности зависит от скорости частицы и ее удельного заряда (q/m).

в). Скорость направлена под некоторым углом к . Если разложить скорость на две составляющие: одну в направлении поля , а другую перпендикулярно ему, то сложение двух движений: равномерного вдоль поля и вращения по окружности вокруг поля приводит к траектории в виде спирали (рис.)

Магнитный поток. Теорема Гаусса

Определение потока вектора через некоторую поверх­ность S было дано в разделе «Электростатика». Поток вектора обозначим через Ф: .

Для однородного поля и плоской поверхности можно написать Ф = B·S·cosα , где α – угол между нормалью к площадке и векто­ром . В случае, когда перпендикулярно площадке, поток Ф = B·S. Единица потока – 1 Тл·м² называется 1 Вебер (Вб).

Пусть магнитное поле в соленоиде (катушке) создается то­ком I. Величины В и Ф пропорциональны силе создающего их тока: Ф =L·I . Коэффициент пропорциональности L измеряется в генри (1 Гн = 1 Вб/1 А) и носит название индуктивности.

Для электрического поля, согласно теореме Гаусса, поток вектора через замкну­тую поверхность равен заряду, заключенному внутри этой поверхности Ф_D = q.

Ч то же касается магнитных зарядов, то их не существует, источ­ником магнитного поля являются токи. Силовые линии нигде не начинаются и не кончаются, они замкнуты сами на себя. Поэтому теорема Гаусса для магнитного поля в вакууме звучит так: поток вектора через замкнутую поверхность всегда ра­вен нулю (сколько силовых линий входит в поверхность, столько же и выходит, рис. ): .

Работа по перемещению провода с током в магнитном поле

П усть имеются два металлических рельса, по которым мо­жет скользить металлический стержень (рис.). Если к рельсам подключить источник тока и поместить все в магнит­ное поле , как показано на рисунке, то на стержень будет действовать сила Ампера F_А . Она, передвигая стержень, мо­жет совершить работу: А = F_A·d = I·Δℓ·B·d = I·B·ΔS=I·ΔΦ , или в дифференциальной форме : dA=I·dФ. где Δ(d)Φ – это изменение потока Ф вектора через заштрихованную площадку, т.е., через контур с током. Т.о., работа силы Ампера в магнитном поле равна произведе­нию силы тока на изменение магнит­ного потока через контур.

Электромагнитная индукция. Правило Ленца

Опыт показывает, что если в катуш­ку, соединенную с гальванометром, вдви­гать постоянный магнит (рис. а), то гальванометр покажет ток тогда, когда магнит движется. Если магнит, наоборот, удалять из ка­тушки, то в ней идет ток обратного направления.

Это явление, открытое Фарадеем, называет­ся электромагнитной индукцией, возникающий ток называется индукционным током, а распре­деленная по катушке э.д.с., под действием кото­рой течет ток, называется э.д.с. индукции. Причем э.д.с. индукции возникает в контуре всегда, а ток – только, если контур замкнут и яв­ляется проводником.

Существенно именно не движение магнита, а изменение магнитного потока Ф через катушку. Например, в опыте, изображенном на верхнем рис., во внутреннем контуре возникает индукционный ток, если во внешнем с помощью реостата менять силу тока, получае­мого от внешнего источника. Причем, если во внешнем кон­туре ток увеличивать, так что поток Ф, создаваемый этим током, растет, то во

внутреннем контуре возникает индукционный ток противоположного

направления. Он своим магнитным потоком Ф_i будет препятствовать нарастанию потока Ф. Если же силу тока в одном из конту­ров и, следовательно, поток Ф, уменьшать, например, разомкнув цепь внутреннего контура на нижнем рис., то в другом контуре возникнет индукционный ток и маг­нитный поток Ф_i того же направления, чтобы препятствовать уменьшению потока Ф .

Ленц сформулировал это следующим образом (правило Лен­ца): индукционный ток возникает такого направления, что он своим магнитным действием препятствует той причи­не, в результате которой он возник.

Формула Фарадея для э.д.с. индукции

И спользуя закон сохранения энергии, получим формулу для э.д.с. индукции. Рассмотрим схему на рис. Перемычку будем сами двигать влево. При этом поток Ф, пронизывающий кон­тур, будет уменьшаться на dΦ. Возникает индукционный ток I такого направления, что действующая на него сила Ампера F_A согласно правилу Ленца препятствует движению.

Будет совершена работа по передвижению провода с током в магнитном поле: dA = –I·dΦ. Знак «–» поставлен потому, что работу совершают сторонние силы, а не силы поля. Эта работа приводит к возникновению э.д.с. индукции ε_инд, индукционного тока и к выделению тепловой энергии в цепи: dA = I· ε_инд ·dt. Приравнивая выражения для работ, получим формулу Фарадея для э.д.с. индукции: ε_инд=–dΦ/dt . Эта э.д.с. является результатом действия сторонних сил и может быть записана в виде: .

В это выражение не входят величи­ны, отражающие какие-либо свойства материа­ла, из которого сделан контур. Следовательно, э.д.с. электромагнитной индукции от этих свойств не зависит. Это позволяет считать, что измене­ние магнитного поля вызывает появление элект­рического поля. Ток, протекающий в контуре, является следствием электрического поля.

Если контур состоит из N витков, то индуцируе­мая в контуре э.д.с. будет равна сумме э.д.с. , инду­цируемых в каждом из витков в отдельности:

.

Величина называется потокосцеплением, или полным магнитным потоком. Если по­ток, пронизывающий каждый из витков, одина­ков, то Ψ=N·Φ.

Приведем выражения для э.д.с. индукции при различных способах ее возбуждения:

− э.д.с. индукции, возникающая в проводнике длиной ℓ, движу­щемся под углом α к силовым линиям со скоростью υ: ;

− э.д.с. индукции, возникающая в контуре , вращающемся в магнитном поле:

;

− э.д.с. индукции, возникающая в контуре при изменении его площади:

;

− э.д.с. индукции, возникающая в контуре, помещенном в изменяющееся магнитное поле: .

Самоиндукция

Э.д.с. индукции может возникать и в самом контуре с меняющимся током I. Другого контура при этом может и не быть. При усилении тока (и следовательно, увеличении потока Ф) в контуре воз­никает э.д.с. индукции и индукционный ток I_инд такого направления, чтобы препятствовать усилению тока I. Это явление носит на­звание самоиндукции. Так как магнитный поток Ф, пронизывающий контур, пропорционален силе тока: Ф = L·I , то э.д.с. самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока: , где L – коэффициент самоиндукции, или индуктивность, ка­тушки.

Найдем индуктивность длинного со­леноида. Поток Ф через один виток равен B·S. Через все N витков соленоида Ψ = N·B·S. Индукция в соленоиде равна B=μ₀·(N/ℓ)·I. Так что

.

Сравнивая два выражения, найдем: , где V=S·ℓ–объем внутри соленоида, ℓ– длина соленоида, n–число витков на единице длины соленоида. Т.о., индуктивность соленоида очень сильно зависит от числа витков.