1. Интерференция и дифракция света .

Интерференция света

Пусть в произвольную точку наблюдения Р на экране Э приходят две волны (рис.): и ,

где Е_I и Е_II – напря­женности электри­ческих полей световых волн, идущих от источников S₁ и S₂ , ω₁ и ω₂ – частоты волн, -соответствующие волновые векторы. Сложение таких колебаний (можно применить формулу косинусов) дает: .

Если учесть, что интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды (I ~ Е ²), и обозначить разность фаз как , то получим для интенсивно­сти результирующей волны в точке Р:

.

Таким образом, результат сложения зависит от третьего слагаемого, которое называется интерференционным слагаемым. Здесь возможны два случая.

I. При наложении световых волн от двух независимых источников разность фаз ΔΦ за время наблюдения многократно изменяется случайным образом. Вследствие этого значение cosΔΦ, входящего в интерферен­ционное слагаемое, следует усреднить. Так как среднее за период значение косинуса равно нулю, то наблю­даемая в таких случаях интенсивность равна просто сумме интенсивностей двух волн , и наблюдается равномерная освещенность поверхности, на которую падают волны от источников. Такие волны называются некогерентными.

II. ΔΦ от времени не зависит. Это возможно лишь при наложении монохроматических волн (ω₁ = ω₂ = ω). Тогда . Здесь учтено, что волновое число и длина волны λ в среде с показателем преломления п связана с длиной волны λ₀ в вакууме соотношением: λ=λ₀/n . Выражение в круглых скобках Δ=n₂·r₂ – n₁·r₁ – т.н. оптическая разность хода волн. В этом случае для точки Р на экране Э :

а) если cosΔΦ = 1 , т.е. ΔΦ=m·2π и Δ=m·λ₀ , то наблюдается максимум интенсивности . Амплитуды волн складываются: E = E₁+E₂ .

б) если cosΔΦ = –1 , т.е., ΔΦ=(2m+1)π и Δ=(2m+1)·λ₀/2, то получается минимум интенсивности . Амплитуды волн вычитаются: E = E₁ – E₂ .

m – целое число, принимающее значения 0,1,2,…

Таким образом, в случае II образу­ется устойчивая картина усиления света в одних областях пространства и ослабления в других. Это свойство световых потоков непосред­ственно указывает на их волновую природу: две системы волн усиливают друг друга там, где максимумы и минимумы волн одной системы попадают на соответствующие максимумы и минимумы другой, и ослабляют друг друга, если максимумы одной волны накладываются на минимумы другой. Такая картина называется интерференционной , а само явление нало­жения волн, приводящее к перераспределению энергии в пространстве, –интерференцией света .

Когерентность. Для возникновения интерференции волн необходимо, чтобы волны имели одинаковую частоту и разность фаз колебаний полей в этих волнах оставалась постоянной во времени. В этом случае интерференционная картина не размывается со временем и не перемещается в пространстве. Волны, удовлетворяющие указанным условиям, называются когерентными. Самый простой способ получения когерентных волн - расщепление волны от какого-то монохроматического источника на две или несколько волн (эти волны будут когерентны, если при расщеплении, например, при отражении от зеркала, не вносится неконтролируемая разность фаз).

Интерференция в тонких пленках.

Этот тип интерференции знаком всем по радужным разводам, появляющимся, если пролить каплю бензина на поверхность воды. Растекаясь по поверхности, бензин образует тонкую пленку. Падающий свет отражается как от верхней, так и от нижней поверхности тонкой пленки, создавая когерентные отраженные лучи с определенной разностью хода. В результате наблюдается интерференционная картина, состоящая из светлых и темных полос (для монохроматического света) или из радужных полос (для естественного дневного света).

Пусть пучок света падает на плоскопараллель­ную пластинку (рис. ). Луч 1 в точке А испытыва­ет отражение (луч 2) и преломление (луч AM). Преломленный луч отражается от нижней грани и, вторично преломившись в точке В, выходит из пластинки (луч 3) параллельно лучу 2. Лучи 2 и 3 когерентны и будут интерферировать. Оптическая разность хода лучей 2 и 3 опре­деляется выражением .

З десь учтено, что луч 2 отражается от грани­цы раздела со средой, оптически более плотной (с большим показателем преломления), при этом фаза волны изменяется на π, а следова­тельно, оптическая разность хода увеличивает­ся на λ / 2. Выразив cosr по закону преломления через угол падения i и показатель преломления среды п, получим:

.

Тогда максимум интерференции наблюдает­ся, если

, а условием минимума будет

, где m =1,2,3,…

В результате, если на пластинку падает моно­хроматическое излучение, то она будет выгля­деть яркой или темной в зависимости от того, будут волны усиливаться или ослабляться. При освещении белым светом условия минимума и максимума будут выполняться для отдельных волн, и пластинка станет окрашенной. Каждой из полос соответствует определенное значение угла падения i. Поэтому они называются поло­сами, или линиями, равного наклона.

При падении монохроматического света на пластинку переменной толщины (клин) каждому значению h соответствует свое условие интер­ференции, поэтому пластинка пересечена свет­лыми и темными полосами равной толщины. Интерференционные полосы в этом случае ло­кализованы на поверхности клина.

Приведенные выше формулы соответствуют интер­ференции в отраженном свете. Если наблюде­ние ведется в тонких пластинках или пленках, находящихся в воздухе, на просвет (в проходя­щем свете), то потери волны при отражении не произойдет. Следовательно, оптические разно­сти хода для проходящего и отраженного света отличаются на λ/2, т.е. максимумам интерфе­ренции в отраженном свете соответствуют ми­нимумы в проходящем свете, и наоборот.

Дифракция света.

Принцип Гюйгенса-Френеля. Зоны Френеля.

Дифракция – явление отклонения света от прямолинейного распространения в неоднородной среде, при котором свет, огибая препятствия, заходит в область геометрической тени, – возни­кает, когда свет падает на препятствия, размеры которых сравнимы с длиной световой волны.

По принципу Гюйгенса, каждую точку фрон­та волны можно рассматривать как самостоя­тельный источник вторичных сферических волн. По Френелю, волновое возмущение в любой точке пространства – результат интерферен­ции этих вторичных когерентных волн. Различают т.н. дифракцию Френеля или сферических волн и дифракцию Фраунгофера или плоских волн.

Метод зон Френеля. Волновую поверхность разбивают на зоны так, чтобы расстояния от краев соседних зон до точки наблюдения P отличались на λ/2 (рис.).

В этом случае фазы приходящих от соседних зон колеба­ний отличаются на π , сами колебания противоположны по фазе, поэтому при наложении волн они взаимно ослабляют друг друга. Тогда амплиту­да E результирующих колебаний может быть представлена в виде знакопеременного ряда:

Дифракция Френеля на круглом отверстии. Пусть в отверстии помещается m зон. Так как амплитуды сферических волн убывают с увеличением расстояния до т.Р, то приближенно выполняется равенство: E_k=(E_k-1+E_k+1)/2 , т.е. амплитуда волны от k-зоны равна среднему арифметическому амплитуд волн от примыкающих к ней зон. Тогда все выражения в круглых скобках обращаются в нуль и для результирующей амплитуды колебаний в т.Р получим: , где: знак «+» соответствует нечетному числу m зон , открываемых отверстием (например, для m = 5 и наблюдается максимум – светлое пятно); знак «–» соответствует четному числу m зон , открываемых отверстием (например, для m = 4 и наблюдается минимум – темное пятно). Если отверстие будет большим (или экрана вообще не будет), то поместятся много зон и в результате . Это означает, что в т.Р попадает свет только от первой зоны, и таким образом объясняется прямолинейное распространение света.

Если на место Р поместить экран, то вокруг точки Р будут минимумы и макси­мумы освещенности, имеющие форму колец.. В центре, т. е. в точке Р, может быть как свет, так и темнота, в зависимости от числа зон Френеля, уместившихся в отверстии. Эти теоретические рас­суждения прекрасно подтвердились на опыте.

Н о самый поразительный результат был получен при рассмот­рении дифракции на круглом непрозрачном экране (рис.). В этом случае несколько центральных зон (например, m) закрыва­ются, а все остальные зоны открыты. Это значит, что в центре тени от малого предмета всегда должно быть свет­лое пятнышко (рис.) . Оно получило название пятна Пу­ассона. На опыте это подтвердилось, что стало блестящим доказательством волновой природы света.

Дифракция Фраунгофера на щели

Плоская электромагнитная волна падает нор­мально на преграду со щелью ширины b.

Е сли бы не было дифракции, световые лучи, пройдя через щель, сфокусировались бы в точ­ке F, лежащей на главной оптической оси линзы (рис.). Однако, наблюдаемое на экране распределение интенсивности света имеет в центре резкий максимум освещенности, относительно которого симметрично располагаются чередуясь светлые и темные полосы.

Наблюдаемую дифракционную картину можно объяснить с по­мощью построения зон Френеля. Разобьем открытую часть волновой поверх­ности на N элементарных зон ширины b/N. Каж­дая зона создает вторичные волны одинаковой амплитуды E₀ / N.

Если откры­тая часть волновой поверхности разбивается из точки наблюдения Р на четное число зон, то бу­дет минимум интенсивности, т.к. колебания от каждой пары соседних зон приходят в противофазе и взаимно гасят друг друга. Наоборот, если число зон будет нечетным, то результирующая интенсивность в точке наблю­дения будет максимальной, т.к. действие одной из зон окажется нескомпенсированным.

Т.о., условие дифракционного минимума: b·sinφ=m·λ.

Условие дифракционного максимума: b·sinφ=(2·m+1)λ/2.

Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке

Дифракционная решетка – это система из большого числа N параллель­ных друг другу щелей шириной b. Щели разделе­ны непрозрачными, равными по ширине, про­межутками а. Расстояние d = а + b называется периодом решетки.

Пусть плоская монохроматическая световая волна интенсивности I₀ падает на решетку нор­мально. Колебания, исходящие от щелей, коге­рентны, они интерферируют друг с другом, и дифракционная картина состоит из достаточно узких интенсивных максимумов.

В центр дифракционной картины (φ = 0) коге­рентные колебания от всех щелей приходят в фазе, поэтому наблюдается центральный максимум освещенности. Аналогичный резуль­тат получается и при углах дифракции φ, для кото­рых оптическая разность хода Δ колебаний от со­седних щелей равна целому числу длин волн:

Δ=d·sinφ=m·λ. (m=0,1,2…)

В направлениях φ, определяемых этим уравне­нием, возникают максимумы. Их называют глав­ными максимумами m-го порядка, а само урав­нение – у словием главных максимумов (рис. ).

Из этой формулы следует, что лучи различной длины волны будут иметь максимумы в различ­ных направлениях. Если на дифракционную ре­шетку падает белый свет, то центральный мак­симум (φ = 0) будет представлять собой белую полосу. Во всех остальных порядках будет наблюдаться радужное цветовое размытие (сплошной спектр), обращенное к централь­ной белой полосе фиолетовым краем.

С увеличением числа щелей растут интенсив­ность и резкость главных максимумов.

Положение минимумов освещенности для дифракционной решетки определяется также, как и для одной щели: b·sinφ= m'·λ., где m' = 1,2,3...

Разрешающая способность решетки по­казывает ее способность различать две очень близко расположенные линии в спектре и определяется формулой R=λ/Δλ,

где Δλ – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий λ и λ+Δλ, при которой эти линии в спектре видны раздельно.

Угловая дисперсия D определяет угловую ширину спектра D = dφ/dλ. Она численно равна угловому расстоянию dφ между двумя линиями спектра, длины волн которых различаются на единицу.

Д ифракция рентгеновских лучей. Для рентгеновских лучей в качестве дифракционной решетки можно использовать кристаллы, в которых расстояние между атомными плоскостями d сравнимо с длиной волны (λ~10^-9м) . При рассмотрении дифракции рентгеновских волн, отразившихся от соседних атомных слоев, удобно использовать угол скольжения θ к поверхности кристалла, а не угол падения. Из рис. можно найти оптическую разность хода: Δ = 2dsinθ. Условие максимума будет

2dsin θ= mλ, (m=1,2,3,…).

Это соотношение известно как формула Вульфа–Брэгга. С помощью рентгеноструктурного анализа можно изучать структуру кристаллов, определять межатомные расстояния. В частности, так была расшифрована структура молекулы ДНК – т.н. двойной спирали.