6.2Параметрические показатели связи. Коэффициент корреляции

Сопряженность между переменными величинами Х и Y можно установить, сопоставляя числовые значения одной из них с соответствующими значениями другой. Если при возрастании одной переменной возрастает и другая, то это указывает на «положительную» связь между величинами, и наоборот: если при возрастании одной другая убывает – «отрицательная» связь.

Подобную взаимосвязь устанавливают при наличии однозначных отношений между Х и Y, когда речь идет о приращении или убывании функции по заданным значениям аргумента.

Другая ситуация наблюдается, когда признак варьирует. При этом приходится исследовать не приращение или убывание функции, а сопряженную вариацию (ковариацию), выражая ее в виде взаимосвязанных отклонений вариант от их средних <х> и <у>.

Ковариация (cov) – усредненная величина произведений (x_i-<x>)*(y_i-<y>) отклонений каждой пары наблюдений от их средних значений, т.е.

величина этого показателя будет в значительной мере зависеть от того, насколько часто в общем ряду произведения (x_i-<x>)*(y_i-<y>) будут иметь знак «+» или «–».

Если «+», то пары вариант должны отклоняться в одном направлении от своих средних, т.е.

x_i > <x> => y_i > <y>).

В противном случае («–»):

x_i > <x> => y_i < <y>).

При этом преобладание величин одного знака способствует большему абсолютному значению коэффициента ковариации, т.к. величины с разными знаками в сумме дают меньшую абсолютную величину. Среднее значение всех произведений указывает, в какой мере большему или меньшему значению Х соответствует большее или меньшее значение Y.

Недостаток коэффициента ковариации в том, что этот коэффициент не учитывает случаи, когда коррелирующие признаки выражаются разными единицами измерения.

Недостаток, присущий ковариации, устраняется, если вместо отклонений (x_i-<x>)*(y_i-<y>) использовать их отношение к среднему квадратичному отклонению: Sx и Sy .

В результате получиться показатель, который называют эмпирическим коэффициентом корреляции:

.

Коэффициент корреляции можно вычислить и не прибегая к расчету СКО:

Коэффициент корреляции – это отвлеченное число, лежащее в пределах между –1 и +1. при независимом варьировании признаков, когда связь между ними полностью отсутствует, коэффициент корреляции = 0.

Чем сильнее сопряженность между признаками, тем больше модуль коэффициента корреляции. При | r | > 0 этот характеризует не только наличие, но и степень сопряженности между признаками. При положительной связи коэффициент имеет знак «+» и находиться в интервале от 0 до +1. При отрицательной связи – знак «–» и интервал от –1 до 0. Коэффициент корреляции не является универсальным показателем корреляционных связей, т.к. характеризует только линейные связи (эмпирия).

6.3Вычисление коэффициента корреляции при малых выборках

При использовании малых выборок наиболее удобно для вычисления коэффициента корреляции, особенно при наличии многозначных и дробных чисел, которые выражают отклонения x_i и y_i от средних:

,

где ,

а

или , где

x_i и yi – это парные варианты сопряженных признаков Х и Y.

d = (xi – yi) – разность между сопряженными признаками Х и Y.