29. Поступальні та обертальні рухи твердого тіла. Кутова швидкість та кутове прискорення.

Тверде тіло — агрегатний стан речовини, що характеризується стабільністю форми на відміну від інших агрегатних станів рідини та газу.

Поступальний рух — рух, при якому всі точки тіла або системи матеріальних точок переміщуються паралельними траєкторіями. Внаслідок поступального руху тіла усі його точки рухаються з однаковими швидкостями і прискореннями, тому для вивчення такого руху досить вивчити рух однієї точки, що належить даному тілу. Рух ізольованої матеріальної точки поступальний за означенням. Наприклад, рух поїзда по всьому шляху.

Рух абсолютно твердого тіла можна подати у вигляді суми поступального руху й обертання.

В загальному випадку довільної системи матеріальних точок рух можна подати у вигляді поступального руху і відносного руху точок системи одна щодо іншої.

В класичній механіці поступальний рух задовільняє рівнянню:

• ,

де

• — сумарний імпульс усіх тіл механічної системи,

- сумарна сила.

Обертальний рух – це рух,при якому всі частинки твердого тіла переміщуються по колах, центри яких лежать на нерухомій площині, що називається віссю. При обертальному русі всі частини тіла переміщуються з різними лінійними швидкостями, але всі вони мають однакові кутові швидкість та прискорення, які є характеристиками обертального руху.

Кутова́ шви́дкість — відношення зміни кута при обертанні до відрізку часу, за який ця зміна відбулася.

Вимірюється в радіанах за секунду. Оскільки зростання кута відраховується проти годинникової стрілки, то кутова швидкість додатня при обертанні проти годинникової стрілки і від'ємна при обертанні за годинниковою стрілкою. Якщо зміна кута нерівномірна, то вводиться миттєва кутова швидкість:

Кутове прискорення - похідна від кутової швидкості по часу.

де β- кутове прискорення, - кутова швидкість, t - час. Вимірюється в рад/c².

Кутове прискорення зване з тангенціальними прискоренням: а_t=βr. Може бути ознакою різних видів обертальних рухів точки: 1)β=0 – рівномірний обертальний рух; 2)β=const – рівнозмінний обертальний рух.

30. Момент інерції твердого тіла. Моменти інерції тіл найпростішої форми.

Моме́нт іне́рції тіла відносно даної осі(одиниця виміру в системі СІ [кг*м2]) – склярна величина, яка дорівнює сумі добутків мас частинок на квадрати їхніх відстаней від осі ообертання.

J=∑m_ir_i², добуток m_ir_i² – момент інерції окремої частинки відносно осі обертання. Тобто момент інерції системи тіл відносно осі обертання дорівнює сумі моментів інерції складових частин системи відносно даної осі. Під моментом інерції розуміють міру інертності тіла при обертальному русі. Кожне тіло має конкретне значення моменту інерції відносно конкретної осі обертання. 1. Порожнистий товстостінний циліндр масою m та радіусами R₁ та R₂ відносно геометричної осі: J=(m*( R₁²+ R₂²))/2; порожнистий тонкостінний циліндр масою m та радіусом оболонки R відносно геометричної осі: J=mR²; суцільний циліндр масою m та радіусом оболонки R відносно геометричної осі: J=mR²/2; куля масою m та радіусом R, відносно осі, що проходить через центр кулі: J=2/5 mR²; стержень масою m і завдовжки l, відносно осі перпендикулярної до середини стержня: J=1/12 ml²; той самий стержень відносно осі перпендикулярної до кінця стержня: J=1/3 ml².

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Якщо відомий момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр його мас, то момент інерції відносно будь-якої іншої осі, що паралельна до даної визначається теоремою Штейнера (теоремою Гюйгенса-Штейнера): момент інерції тіла J відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла J_c відносно осі, що проходить через центр маси тіла паралельно до осі, що розглядається, і добутку маси тіла m на квадрат відстані d між осями:

Питання 31

Теорема Штейнера

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Якщо відомий момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр його мас, то момент інерції відносно будь-якої іншої осі, що паралельна до даної визначається теоремою Штейнера (теоремою Гюйгенса-Штейнера): момент інерції тіла J відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла J_c відносно осі, що проходить через центр маси тіла паралельно до осі, що розглядається, і добутку маси тіла m на квадрат відстані d між осями:

Моментом інерції механічної системи відносно непорушної вісі а називається фізична величина І, яка дорівнює добутку мас матеріальних точок системи на квадрати їх відстані від вісі.

І_а=∑r_i²m_i

Момент інерції тіла: І_а=∫r²dm=∫ r²pdV,

де p-плотність тіла,

dV – елементарний обсяг.

Питання 32

Рівняння обертального руху твердого тіла

Обертальний рух – це рух,при якому всі частинки твердого тіла переміщуються по колах, центри яких лежать на нерухомій площині, що називається віссю. При обертальному русі всі частини тіла переміщуються з різними лінійними швидкостями, але всі вони мають однакові кутові швидкість та прискорення. Тверде тіло з нерухомою віссю обертання під дією сил, результуючий момент яких відносно осі не дорівнює нулю, приводитиметься в обертальний рух з певним кутовим прискоренням. Уявляючи тіло, як систему матеріальних точок, розглянемо одну з них – з масою m_i, що лежить на відстані r_i від осі обертання і перебуває під дією сили F_i. Застосувавши до даної точки другий закон механіки: F_i= m_i*а_і і замінивши тангенціальне прискорення на кутове F_i= m_i*r_i*β. Оскільки в динаміці обертального руху істотну роль відіграє момент діючої сили, то введемо його помноживши вираз на плече r_i: М_i= m_i*r_i²*β, де М_i – момент сили F_i відносно осі обертання. Записавши такі залежності для всіх матеріальних точок, на які поділено тіло, дістанемо: М=(∑m_i*r_i²)*β – основне рівняння динаміки обертального руху. Остаточне рівняння динаміки обертального руху записують: М=Jβ. При сталому моменту інерції тіла кутове прискорення тіла прямо пропорційне результуючому моменту діючих сил. Якщо результуючий момент дорівнює нулю, то кутове прискорення також дорівнює нулю, тобто тіло перебуває в стані спокою або рівномірного обертального руху.

Питання 33

Момент сили. Плече сили

Для характеристики механічної дії на тіло, яке приводить до зміни обертального руху тіла, вводять поняття моменту сили.

Моментом сили F відносно точки О називається векторна величина М, яка дорівнює векторному добутку радіус-вектора r, проведеного з точки О в точку прикладання сили на вектор сили F: М=r*F , [M]=H*м. Напрям моменту сили визначається правилом гвинта при повороті його від r до F.

Момент сили - це вектор перпендикулярний, як до радіус-вектора точки, так і до сили, яка на цю точку діє. За абсолютною величиною момент сили дорівнює добутку сили на плече або

.

Найкоротшу відстань від точки опори до прямої, вздовж якої діє сила, називають плечем сили. Плече сили позначається літерою l та вимірюється в метрах. Для того щоб знайти плече сили, треба з точки опори опустити перпендикуляр на лінію дії сили.

Питання 34

Правило важелів Архімеда

У книжці «Про рівновагу і визначення центра ваги плоских фігур» Архімед уперше доводить відоме правило важеля: нерівні тягарі перебувають у рівновазі на важелі, якщо відстані центрів тягарів від точки опори важеля обернено пропорційні їх вагам. У цій самій праці Архімед визначає центри ваги прямокутників, паралелограмів, трикутників і т. д.

Є всі підстави припускати, що тут він установив саме поняття центра ваги, а не поняття центра ваги тіла: це така точка, в якій досить підтримати тіло, щоб воно було в рівновазі у будь-якому положенні.

Питання 35

Гідростатика. Фізичні властивості рідини

Гідроста́тика – розділ гідромеханіки, що вивчає закони рівноваги рідини, які знаходиться у стані абсолютного чи відносного спокою та рівноваги тіл, занурених у рідини за умови, коли відсутні переміщення часток рідини одна відносно одної. У механіці не враховується молекулярна будова середовища. На певний об’єм рідини діють внутрішні і зовнішні сили. Внутрішні сили зумовлені взаємодією частинок рідини, ці сили зрівноважуються. Зовнішні сили зумовлені дією сусідніх елементів, сили тяжіння тощо. У загальному випадку рідина зазнає дії масових і поверхневих сил. Обємні сили діют на елементарні об’єми, в яких знаходиться певна маса рідини: сили тяжіння, інерції. Поверхневі сили діють на поверхню, що обмежує елементарний об’єм. При дії поверхневих сил виникають деформації об’єму, які створюють пружні сили, дія яких однакова за значенням і протилежна за напрямом дії зовнішніх сил.

Фізичні властивості рідини

Всі рідини, коли рухаються, мають внутрішнє тертя, яке обумовлене в’язкими властивостями середовища. Нехтування в’язкими силами суттєво спрощує аналітичне дослідження. Замість реальної рідини виявляється доцільним розглядати модель ідеальної рідини. Ідеальна рідина – це абстрактна рідина без внутрішніх сил тертя. В’язкість нестисливої рідини з ростом температури зменшується. Крапельна рідина приймає форму посудини і утворює поверхню вільного рівня, яка відокремлює її від других рідин або газів з іншими фізичними властивостями. На такій поверхні особливо інтенсивно проявляється дія молекулярних сил зчеплення, що призводить до появи сил капілярності, змочуваності твердих поверхонь і до виникнення крапель і менісків.

Густиною рідини r називається її маса, яка міститься в одиниці об’єму,

ρ= m/V

де m – маса рідини (кг) в об’ємі

Питомою вагою однорідної рідини називається вага G одиниці об’єму цієї рідини

γ = G/V. (1.2)

Між густиною і питомою вагою існує взаємозв’язок

Властивість рідин змінювати густину (питому вагу) при зміні температури широко використовується для створення природної циркуляції в котлах, опалювальних системах, для видалення продуктів спалювання тощо.

В’язкість рідини. Всі реальні рідини мають певну в’язкість, яка проявляється у вигляді внутрішнього тертя при відносному переміщенні суміжних частинок рідини. В’язкість рідини – це її властивість чинити опір відносному зрушенню частинок. Одиницею в’язкості в системі СІ служить паскаль-секунда.

Поверхневий натяг рідини, який зумовлений силами взаємодії молекул поверхневого шару рідини між собою намагається скоротити вільну поверхню рідини. Внаслідок цього рідина, що має криволінійну поверхню, зазнає додаткового зусилля, яке збільшує або зменшує тиск в рідині (Па). Звідси витікає закон Паскаля: тиск, що діє на рідину, передається рідиною однаково у всіх напрямках.Основне рівняння гідростатики показує, що абсолютний гідростатичний тиск в будь-якій точці простору, зайнятому рідиною, дорівнює сумі зовнішнього тиску p0 і надлишкового тиску ρgh:

.

З цього рівняння випливає рівність рівнів у сполучених посудинах, пояснення гідростатичного парадоксу та закон Архімеда.