3.10. Критерий Пирсона

Критерий Пирсона включает следующие этапы:

1

Определить признак, который необходимо исследовать (значения признака может быть представлены в любой шкале измерения).

2

Провести наблюдение одной выборки респондентов объема n (Объем выборки должен быть больше 30):

x₁, x₂,…x_i,… ,

где случайная переменная X характеризует состояние изучаемого свойства в рассматриваемой совокупности.

3

Сформулировать гипотезы:

H₀

Полученное эмпирическое распределение не отличатся от теоретического распределения.

H₁

Полученное эмпирическое распределение отличатся от теоретического распределения.

4

Исходные выборочные данные сгруппировать и представить в виде:

а

Статистического ряда распределения частот (для нормального распределения):

.

б

Интервального статистического ряда распределения частот (для распределения случайной величины по равномерному закону, для нормального распределения):

Частота для каждой ячейки таблицы должна быть больше 4.

5

Для каждой ячейки вычислить теоретические частоты (частоты, которые следует ожидать, когда гипотеза H₀ справедлива) по формуле: , где р_i :

5.1

Для нормального распределения , где , , – левый конец интервала, значение положить равным , а значение положить равным . Значения определить по таблице № 13 приложения.

5.2

Для распределения случайной величины по равномерному закону, если исходные выборочные данные сгруппировать и представить в виде:

а

статистического ряда распределения частот ;

б

интервального статистического ряда распределения частот .

6

Вычислить значение по формуле: .

Для нахождения значения , данные можно записать в таблицу:

.

7

Определить количество степеней свободы по формуле:

а

для нормального распределения df=c-3;

б

для распределения случайной величины по равномерному закону df=c-1, где c – число элементов в выборке. Если df=1, то внести поправку на «непрерывность».

8

Определить критические значения χ²_1кр и χ²_2кр, которые отвечают уровням значимости в 5% и 1% по таблице № 4 приложения.

9

Расположить эмпирическое значение критерия и критические значения χ²_1кр и χ²_2кр на оси значимости.

10

Если находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н₀ об отсутствии различий. Если находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии различий Н₀ отклоняется и принимается гипотеза Н₁ о наличии различий. Если находится в зоне неопределенности, то существует вероятность принятия ложного решения.

элементы (х_i)

[40; 50)

[50; 60)

[60; 70)

[70; 80)

[80; 90)

[90;100]

эмпирическая частота ( )

10

26

56

64

30

14

элементы

х_i

[40; 50)

[50; 60)

[60; 70)

[70; 80)

[80; 90)

[90;100]

∑

10

26

56

64

30

14

200

Нормированные

интервалы

(-∞; -1,70)

[-1,70; -0,86)

[-0,86; -0,08)

[-0,08;0,73)

[0,73; 1,54)

[1,54;+ ∞)

0,045

0,142

0,281

0,299

0,171

0,062

1

9

28,4

56,2

59,8

34,2

12,4

200

1

-2,4

-0,2

4,2

-4,2

1,6

1

5,76

0,04

17,64

17,64

2,56

0,11

0,20

0,00

0,29

0,52

0,21

1,33

Критерий Пирсона включает следующие этапы:

1

Определить признак, содержащий k разрядов, участвующий в сопоставлении (значения признака должны быть представлены не ниже порядковой шкалы).

2

Произвести выборку двух групп респондентов.

3

Провести две серии наблюдений на двух независимых выборках респондентов объема n₁, и n₂:

x₁, x₂,…x_i,… ;

y₁, y₂,…,y_j,…, ,

где случайная переменная х характеризует состояние изучаемого свойства в одной из рассматриваемых совокупностей, а случайная переменная у – состояние того же свойства во второй совокупности (число членов в обеих выборках должно быть в сумме больше 40, т. е. >40)

4

Сформулировать гипотезы:

Н₀

Законы распределения случайных величин X и Y одинаковы в обеих рассматриваемых совокупностях.

Н₁

Законы распределения случайных величин X и Y различны в обеих рассматриваемых совокупностях.

5

Распределить элементы каждой выборки объемов n₁ и n₂ на k категории, соответствующие разрядам исследуемого признака.

6

На основе полученных результатов составить таблицу вида:

Не рекомендуется использовать критерий для проверки гипотез, если хотя бы одно из значений т_ij меньше 5.

7

Вычислить значение по формуле: .

8

Определить критические значения χ²_1кр и χ²_2кр, которые отвечают уровням значимости в 5% и 1% по таблице № 4 приложения. Количество степеней свободы при этом определяется по формуле: . Если df=1, то внести поправку на «непрерывность».

9

Расположить эмпирическое значение критерия и критические значения χ²_1кр и χ²_2кр на оси значимости.

10

Если находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н₀ об отсутствии различий. Если находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии различий Н₀ отклоняется и принимается гипотеза Н₁ о наличии различий. Если находится в зоне неопределенности, то существует вероятность принятия ложного решения.