15.Екстремуми ф-ції. Опуклість і точки перегину. Асимптоти.

Необх. умова існув. екстремуму: Якщо є т. максимуму або мінімуму і в цій т. існує похідна, то ця пох.=0. Для дослідж. ф-ії на екстр. необх. знайти нулі 1-ї похідної і т. в яких вона не існує, дослід. зміну знака 1-ї пох. при переході через крит.точки.

Опуклість.

Крива задана р-м y=f(x) назив. вгнутою (опуклою) в т. , якщо існує такий окіл цієї точки, що для всіх х з цього околу відповідні точки кривої лежать під (над) дотичною, проведеної до кривої в т. .

т. назив. точкою перегину графіка ф-ії, якщо існують такий окіл цієї точки, що для всіх всі точки кривої лежать під (над) дотичною, а для всіх правих - над (під) дотичною.

Теорема. Нехай крива у=f(x) та існує такий -окіл т. , що фун-ія f(x) в околі цієї точки має похідні до другого порядку включно, при чому друга похідна в т. х є неперервна, тоді якщо f ”(x₀)>0 – вгнута, f ”(x₀)<0 – опукла.

Доведення: (розглянемо випадок)

Позначимо через у і х відповідно, У= f(x₀)- f ‘(x)(х-х₀);

у-У= f(x)- f(x₀)- f ‘(x)(х-х₀);

Запишемо формулу Тейлора для функції: -

, , . Якщо друга похідна додатна:

у-Y>0,у>Y,то крива вгнута. Якщо друга пох.<0,то крива опукла.

Асимптоти. Нехай задано y=f(x), f(x)-неперервна. Крива l назив. асимптотою графіка ф-ії y=f(x),якщо відстань від т.М кривої l до даної прямої прямує до нуля, коли т.М рухається в нескінченність, тобто . Асимптоти бувають: вертикальні( ), горизонтальні( ) і похилі( ). .Якщо хоч одне b або k не існує, то крива не має асимптот.

16. Первісна та її властивості, невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування.

Ф-ція F(x) назив. первісною для ф-ції у=f(x), якщо =f(x).

Властивості: Якщо =f(x), (х)= f(x), то

F(x)-Ф(х)=с=const.

Дов.: - (х)= = =0.

Множина або сукупність всіх первісних для даної ф-ції f(x) назив. невизначеним інтегралом: =F(x)+с.

Властив.:1)Диференціал від інтеграла = підінтегральному виразу: ; 2)Інтеграл суми =сумі інтегралів; 3)Сталий множник можна винести за знак інтеграла.

Методи інтегрування:

1)Безпосереднього інтегрування(табличне);

2) Підстановки.

П-д: ;

3) Інтегрування частинами: . Методом інтегрування частинами зручно обчислювати такі інтеграли а) , , де Р(х)-многочлен, який слід взяти за u, а за dv – вираз, що залишився. б) , ,де Р(х)dx слід взяти за dv.

Інтегрув. раціональних ф-й зводиться до інтегрування елементарних дробів: і (n є N). ; ;

Інтегрування біномних диференціалів:

,де m,n,p Q,ab R.

1)p Z, , де S=НСК знаменників n,m, dx= .

2)p Z,p= :

a) ,s-знаменник р.

б) , тоді шук. , тоді буде така підстановка .

Інтегрування тригонометричних ф-й:

1) . Універс. підстановка

, , .

2) , ,

-sinxdx=dt, = = .

3) R(sinx , -cosx), sinx=t, cosxdx=dt.

4) R(-sinx , -cosx)= R(sinx ,cosx).

17. Визначений інтеграл та умови його існування. Формула Ньютона-Лейбніца, вивчення інтеграла в школі.

1. Задача про обчислення площі кривої трапеції.

Обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої зверху зверху кривою у=f(х), f(х) є С [а, в], f(х)>=0; знизу віссю 0х, у=0; зліва х = а; зправа х = в.

Для розв’язання цієї задачі поступаємо так:

1.

• ділимо основу трапеції, тобто [а, в] точками х_і довільним способом на n чистин. (будемо мати n-1 точок) х₁<x₂<x₃<…<x_і-1<х_і<…<х_n-1.

• довжину кожного відрізка х_і - x_і-1 = х_і.

• одержали відрізки [а, х₁], [х₁, х₂], …, [x_і-1, х_і]…[ х_n-1, в] – частинні відрізки;

• через кожну із точок х_і провод. прямі перпенд. до 0х до перетину з кривою у=f(х).

2.

• На кожному із частинних відрізків х_і вибир. дов. т. .

• В цих точках постав. перпенд.

• Через кожну з точок провед. пряму.

• одержимо n прямокутників.

• довжина основи кожного з них є х_і , а висотами значення функції в цій точці.

3.

• Площа одного такого прям. дорівнює: S_i = f( )* х_і (i=1, …n).

• Суму цих площ позначимо: .

• Очевидно, що це не буде площа цієї трапеції, а буде наближено до неї.

4.

• Тому природно, за площу криволінійної трапеції аАВв прийм. границю даної суми, якщо вона існує. .

• .