- •1. Аналіз поняття множини. Потужність множини. Зчисленні множини та їх властивості. Множини натуральних чисел n, цілих z, раціональних q, та дійсних чисел r, їх потужність.
- •2. Множина дійсних чисел r, її властивості. Поняття верхньої і нижньої граней числової множин, їх існування і властивості. Теорема Кантора.
- •3. Границя послідовності. Основні теореми про збіжність послідовностей. Границя обмеженої монотонної послідовності. Число е. Границя послідовності в метричному просторі.
- •4. Поняття функції. Способи задання функцій. Функції n дійсних змінних та комплексної змінної. Поняття функції в школі.
- •Словесний.
- •6. Неперервність функції в точці і на відрізку. Неперервність функції кількох змінних та функцій комплексної змінної. Поняття рівномірної неперервності.
- •7. Основні теореми про неперервність функції
- •8. Розвиток поняття степеня. Степенева ф-я в дійсній та комплексній області /означення, властивості/. Степенева ф-я в школі.
- •9. Показникові ф-я дійсній та комплексній змінної (означення, властивості). Показникові ф-я в школі.
- •10. Логарифмічна ф-ія дійсної та комплексної змінної (означення, властивості). Розклад її в степеневий ряд. Логарифмічна ф-ія в школі.
- •13. Похідна ф-ії комплексної змінної. Умови диференційовності. Аналітичні ф-ії.
- •14. Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші.
- •15.Екстремуми ф-ції. Опуклість і точки перегину. Асимптоти.
- •16. Первісна та її властивості, невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування.
- •17. Визначений інтеграл та умови його існування. Формула Ньютона-Лейбніца, вивчення інтеграла в школі.
- •1. Задача про обчислення площі кривої трапеції.
- •2. Задача з механіки.
- •19. Поняття метричного простору. Повні метричні простори.
- •20. Теорема Банаха про стискуючі відображення та її застосування.
- •21. Числові ряди з дійсними та комплексними членами, основні поняття. Необхідна умова збіжності. Геометрична прогресія та гармонічний ряд. Властивості збіжних рядів.
- •22.Ознаки збіжності рядів з додатними членами. Ряди з довільними членами, їх абсолютна та умовна збіжність, властивості.
- •23. Степеневі ряди з дійсними та комплексними членами. Абсолютна збіжність. Інтервал та радіус збіжності.
- •25.Застосування інтегрального числення до розв-ня задач геометрії і фізики.
- •1. Площа фігури.
- •26. Обернені тригонометричні функції дійсної та комплексної змінної (означення, властивості).
- •27. Означення поняття теорії диференц. Рівнянь: порядок, розв’язок, загальний розв’язок, інтегральна крива, початкові умови, задача Коші.
- •28. Диф. Рівняння з відокремлюваними змінними, лінійні рівняння та рівняння, що зводяться до них.
- •30. Лінійні диф. Рівняння вищих порядків із сталими коефіцієнтами та їх застосування до вивчення коливних процесів.
13. Похідна ф-ії комплексної змінної. Умови диференційовності. Аналітичні ф-ії.
Похідна ф-ії комплексної змінної є новою ф-єю тієї ж змінної і позначається або . Формально визначається рівністю , що повністю співпадає з границею ф-ії дійсної змінної, лише з однією умовою: дана границя не повинна залежати від шляху, по якому .
Зберігаються і правила диференціювання.
.
.
.
.
.
Означення. Похідною ф-ії комплексної змінної називається границя відношення приросту ф-ії до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля , при умові, що ця границя існує і не залежить від шляху, по якому приріст прямує до нуля. З останньої умови слідує дуже важливе обмеження на клас ф-ій комплексної змінної.
Справедлива теорема.
Нехай ф-ія визначена в деякому околі точки ,причому в цій точці ф-ії диференційовні. Тоді для диференційовності ф-ії комплексної змінної в точці необхідно і достатньо, щоб в цій точці виконувались умови Коші-Рімана:
; .
Якщо ці умови виконуються то знаходимо похідну .
Аналітичні ф-ії.
Однозначна ф-ія називається регулярною або голоморфною в точці ,якщо вона неперервна або диференційовна в деякому околі точки .
Ф-ія диференційовна тільки в самій точці, але не в її околі, називається моногенною в цій точці.
Таким чином, ф-ія називається регулярною в точці ,якщо вона моногенна в точці і в її околі.
Якщо регулярна в кожній точці області D, то вона називається регулярною в області D.
Означення. Ф-ія комплексної змінної наз. аналітичною в області D, якщо вона регулярна у всіх її точках,за винятком множини ізольованих точок, не порушуючих зв’язності області D.
Точки області D, в яких порушується регулярність аналітичної ф-ії (в яких ф-ія не має похідної або терпить розрив) називають особливими точками.
Клас аналітичних функцій достатньо широкий. Наприклад, усі елементарні функції, тригонометричні, гіперболічні, логарифмічні і еліптичні функції відносяться до класу аналітичних функцій.
Слідуюча теорема, котра доводиться аналогічно випадку функцій дійсної змінної.
Теорема. Якщо, є аналітична функція змінної z і кожному значенню w відповідоє лише одне значення z, то обернена функція є аналітичною функцією змінної w ( при всіх тих значеннях w і z, для котрих ) і її похідна визначається рівністю .
Іншими словами, похідна функції, оберненої даній, рівна величині, оберненої до похідної даної функції.
14. Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші.
Т-ма Ролля:
Якщо ф-я f(x) є С неперервна на відрізку диференційована в інтервалі і на кінцях відрізка приймає рівні значення, тоді принаймні одна точка С така, що (пох. в ній дор. 0).
1)
2)
3)
Доведення : За ІІ теоремою Вейєрштраса всяка неперервна ф-я приймає своє наближене значення.
І) m=M, , f(x)=C=const, f′(x)=0
II) m<M, f(a)=f(b)
Найб. і найм. знач. не можуть досягти у внутрішній точці С , тоді за Т. Ролля .
Серед усіх дотичних до кривої у=f(x) принаймні одна паралельна до Ох.
Т-ма Лагранжа: Якщо ф-я f(x) неперервна на відрізку , диференційована в інтервалі (a,b), і тоді т. С таке, що має рівність .
1) f(x), х
2)
Звідси випливає, що .
.
Ця ф-я задов. всім вимогам умови Ролля:
1)
2о)
3о) , тоді за Т. Ролля
, ,
Якщо дотична паралельна до січної, що сполучає точку А і В.
Ф-ла Лагранжа застос. до будь-якого відрізка або для будь-якого
. , , ,
.(с-проміжна точка,
).
Теорема Коші. Якщо ф-я f(x) і φ(х) неперервні на відрізку , диференційовані в інтервалі (а,b) при чому φ´(x)≠0, тоді існує принаймні одна т.C, така, що має місце рівність: .
1о
2о . Звідси випливає . Якщо покласти φ(x)=x, то .
Доведення: Введемо допоміжну ф-ю . Ця ф-я задовольняє всім вимогам теореми Ролля. Тоді за Т.Ролля , ,
.