7. Основні теореми про неперервність функції

Теорема: Якщо множина значень монотонно зростаючої (спадної) фу-ї , які вона приймає для всіх міститься в деякому проміжку і заповнює його суцільно, то фу-я на проміжку Х неперервна.

Розглянемо випадок для монотонно зростаючої функції.

У

Доведення:

Візьмемо довільну точку , яка не є правим кінцем проміжку. . Доведемо, що функція неперервна в точці справа. Оскільки - не права крайня точка, отже можна вибрати, ще точку Х. , оскільки . Нехай , але таке, що не виходить за межі Х. , тоді точка буде відповідати точці , так що , Покладемо різницю Очевидно, що але менше Аналогічно доводиться неперервність функції в т. зліва, в припущенні, що - не є лівим кінцем.

Теорема: Якщо функція неперервні в точці , то їх сума, різниця, добуток, частка при умові, що .

Доведемо, що при умові, що є функція неперервна.

- неперервна функція.

Аналогічно доводяться неперервність суми і добутку. Якщо ф-я неперервна на відрізку [а,в], то коротко будемо записувати

Теорема: Якщо ф-я неперервна в точці а ф-я неперервна у відповідній точці яка дорівнює то і складена ф-я (при умові її існування) також неперервна в точці .

Доведення: Те, що ф-я неперервна в точці згідно з означення на мові Те що ф-я неперервна в точці означає що по заданому що

8. Розвиток поняття степеня. Степенева ф-я в дійсній та комплексній області /означення, властивості/. Степенева ф-я в школі.

- наз. степеневою ф-ю в компл. обл.

1. Визначена на всій компл. пл.. 2) Конформна у всіх точках крім z=0.

2. Якщо

Областю однолистості ф-ї є сектор нескінченного радіуса із сторонами кута

Цей сектор відображається у всю розширену компл. площину з розрізом по променю додатному дійсної осі.

Якщо брати наступний кут що лежить в межах від то відповідний сектор відображається на другий лист компл. пл. який настелений на перший. При цьому дві точки такі що , які належать різним секторам лежать на різних листах одна над іншою. Продовжуючи брати сектори що відповідають кутам ми одержимо n листу поверхню, на якій ф-я є однозначною, така поверхня наз Рімановою поверхнею ф-ї.

Степенева ф-я з довільним показником:

З шкільної точки зору: степенева ф-я це ф-я виду

1) Якщо , то графік ф-ї у=х – пряма.

2) Якщо то графік ф-ї - парабола.

3) Якщо то графік ф-ї - парабола четвертого порядку.

4) Якщо то графік ф-ї - кубічна парабола.

5) Якщо то графік ф-ї - одна вітка параболи,

6) Якщо то графік ф-ї - дві вітки кубічної параболи,

9. Показникові ф-я дійсній та комплексній змінної (означення, властивості). Показникові ф-я в школі.

- це є степенева функція.

Основні властивості:

1. Область визначення – вся комплексна площина;

2. Множина значень: вся комплексна площина крім т. w

3. При у=0 ф-я переходить у ф-ю дійсної змінної

4. Ф-я періодична з періодом

5. Ф-я диференційована на всій комплексній площині.

Розглянемо показникову ф-ю з довільною основою.

- визначена на всій площині;

конформна на всій площині.

Областю однолистості показник. ф-ї є довільна область яка не містить двох різних точок, уявні частини яких відрізняються більш ніж на

Прикладом області однолистості є смуга

Якщо розглянути наступну смугу, тобто смугу то вона перейде в наступний лист компл. пл. наступний на перший.

З шкільної точки зору: показниковою наз. ф-я виду

Властив. показникової ф-ї при 1) Обл. визнач. - мн. всіх дійсних чисел, тобто 2) Обл. значень ф-ї – мн. всіх довільних чисел, тобто

3) Ф-я монотонно зростає на всій числовій прямій: 4) Якщо х=0, то значення ф-ї дорівнює одиниці, тобто

5) якщо х>0, то 6) Якщо х<0, то

Властив. показникової ф-ї при 1) Обл. визнач.: 2) Обл. значень ф-ї –

3) Ф-я монотонно спадає на всій числовій прямій: 4) Якщо х=0, то значення ф-ї дорівнює одиниці, тобто

5) якщо х>0, то 6) Якщо х<0, то