3. Границя послідовності. Основні теореми про збіжність послідовностей. Границя обмеженої монотонної послідовності. Число е. Границя послідовності в метричному просторі.

Означення 1. Сукупність чисел кожне з яких є функцією від натурального аргумента, які розміщенні в порядку зростання номерів назив. числовою послідовністю.

Означення 2. Стале число називається границею послідовності якщо для будь-якого додатного числа можна вказати таке натуральне число N, починаючи з якого всі наступні члени послідовності задовольняють нерівність (n>N). Записують це так: .

Теорема 1. В будь-якій обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.

Доведення. Нехай послідовність обмежена, тобто n є N. Поділимо відрізок на дві рівні частини. Оскільки кільк членів нескінченна, в одній із половин міститься нескінченність. Позначимо половину через ділимо відрізок пополам , беремо ту частину в якій є нескінченна кільк. елементів і позначимо цей відрізок ,…. ,… …

Теорема 2. Для того, що послідовність була збіжна необхідно і достатньо щоб для , що n>N, p>0(p є N), слідує нерівність Доведення: Для того, щоб послідовність була збіжна, то , виконується n>N, p>0 (p є N) з а слідує n>N, p>0 (p є N)

Нехай , що n>N, p>0 (p є N) .

для будь- яких n>N, p>0.

Достатність. Нехай виконується умова:

Розширимо ці границі, щоб охопити перший N, ця послідовність буде обмеженою n є N. За попередньою теоремою отримаємо Т.доведено.

Теорема 2. Якщо послідовність збіжна, то вона має лише одну границю.

Теорема 3. Будь – яка обмежена монотонна послідовність збіжна.

Теорема 4. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена

Якщо , то послідовність ( ) називається нескінченно малою. Прикладом такої послідовності є

Послідовність називається неспадною, якщо для всіх її членів виконується нерівність , n є N, і зростаючою, якщо для всіх її членів виконується нерівність , n є N. Послідовність ( ) називається незростаючою, якщо для всіх її членів виконується нерівність , n є N, і спадною, якщо для всіх її членів виконується нерівність , n є N. Незростаючі, неспадні, зростаючі і спадні послідовності називаються монотонними послідовностями.

Теорема 1-2. Всяка монотонна зростаюча (спадна) обмежена зверху (знизу) має скінчену границю.

Доведення . Доведемо для випадку монотонно зростаючої і обмеженої числової послідовності. n є N. Оскільки послідовність обмежена зверху, то згідно теореми про існування точної верхньої межі і для послідовності існує точна верхня границя . тобто За Влас. точної верхньої межі . По друге : знайдемо таке значення , таке, що В силу монотонності зростання числової послідовності матимемо, що для будь-якого слідує .Аналогічно для випадку спадної послідовності обмеженої зверху.

Основна формула для числа е: (1) . З рівності (1) випливає інша рівність ( ) . Доведемо, що Нехай х- пробігає, яку-небудь послідовність , , . Звідси . Візьмемо від цього ліву і праву границі, які будуть дорівнювати е. Аналогічно і для . - натуральні логарифми. , М=