- •1. Аналіз поняття множини. Потужність множини. Зчисленні множини та їх властивості. Множини натуральних чисел n, цілих z, раціональних q, та дійсних чисел r, їх потужність.
- •2. Множина дійсних чисел r, її властивості. Поняття верхньої і нижньої граней числової множин, їх існування і властивості. Теорема Кантора.
- •3. Границя послідовності. Основні теореми про збіжність послідовностей. Границя обмеженої монотонної послідовності. Число е. Границя послідовності в метричному просторі.
- •4. Поняття функції. Способи задання функцій. Функції n дійсних змінних та комплексної змінної. Поняття функції в школі.
- •Словесний.
- •6. Неперервність функції в точці і на відрізку. Неперервність функції кількох змінних та функцій комплексної змінної. Поняття рівномірної неперервності.
- •7. Основні теореми про неперервність функції
- •8. Розвиток поняття степеня. Степенева ф-я в дійсній та комплексній області /означення, властивості/. Степенева ф-я в школі.
- •9. Показникові ф-я дійсній та комплексній змінної (означення, властивості). Показникові ф-я в школі.
- •10. Логарифмічна ф-ія дійсної та комплексної змінної (означення, властивості). Розклад її в степеневий ряд. Логарифмічна ф-ія в школі.
- •13. Похідна ф-ії комплексної змінної. Умови диференційовності. Аналітичні ф-ії.
- •14. Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші.
- •15.Екстремуми ф-ції. Опуклість і точки перегину. Асимптоти.
- •16. Первісна та її властивості, невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування.
- •17. Визначений інтеграл та умови його існування. Формула Ньютона-Лейбніца, вивчення інтеграла в школі.
- •1. Задача про обчислення площі кривої трапеції.
- •2. Задача з механіки.
- •19. Поняття метричного простору. Повні метричні простори.
- •20. Теорема Банаха про стискуючі відображення та її застосування.
- •21. Числові ряди з дійсними та комплексними членами, основні поняття. Необхідна умова збіжності. Геометрична прогресія та гармонічний ряд. Властивості збіжних рядів.
- •22.Ознаки збіжності рядів з додатними членами. Ряди з довільними членами, їх абсолютна та умовна збіжність, властивості.
- •23. Степеневі ряди з дійсними та комплексними членами. Абсолютна збіжність. Інтервал та радіус збіжності.
- •25.Застосування інтегрального числення до розв-ня задач геометрії і фізики.
- •1. Площа фігури.
- •26. Обернені тригонометричні функції дійсної та комплексної змінної (означення, властивості).
- •27. Означення поняття теорії диференц. Рівнянь: порядок, розв’язок, загальний розв’язок, інтегральна крива, початкові умови, задача Коші.
- •28. Диф. Рівняння з відокремлюваними змінними, лінійні рівняння та рівняння, що зводяться до них.
- •30. Лінійні диф. Рівняння вищих порядків із сталими коефіцієнтами та їх застосування до вивчення коливних процесів.
4. Поняття функції. Способи задання функцій. Функції n дійсних змінних та комплексної змінної. Поняття функції в школі.
Нехай нам дано дві множини , У={у}. Відображенням множини Х на (в) множ. (на (в)) називається закон (правило) по якому кожному елементу множини Х ставиться у відповідність єдиний елемент у є У, друг.
Закон позн. буквою f.
Якщо Х – числова множ., то таке відображення називається функцією.
Визначення функції :
Якщо кожному числу х за певним правилом поставлено у відповідність одне дійсне число у, то кажуть, що на множині х задана функція і позначають у = f(х).
Множина х при цьому називається областю визначення функції у = f(х). Множина елемент чисел назив. множ. значень функції.
Отже, для того, щоб функція була заданою треба знати область визначення функції, закон відповідності по якому кожному елементу х відповідає у.
у= , х ; у= , х ; у= . , х є R; у= . , х>0.(існування).
Способи задання функції
Аналітичний (це стос.. коли функція задається аналітичним виразом).
Табличний (за допомогою таблиць)
Графічний (зад. графіками). Графіком функції наз. множина точок площини з координатами
Словесний.
Класифікація функції
Основні елементарні функції: 1) ; 2) (степенева фу–я); 3) (показникові); 4) (логарифмічна функція)
5) (тригонометрична) 6) 7)
Поняття функції в школі:
1. Функцією наз. залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню змінної х відповідає єдине значення змінної у. Функцію позначають або однією буквою латинського алфавіту f, F або за допом. рівності , змінну х назив. незалежною змінною або аргументом .Змінну у залежною змінною або функцією. Всі значення незалежної змінної утворюють область визначення фу-ї. Усі значення, які набуває залежна змінна, утворюють область значень функції.
2.Числова функція. В алгебрі і початках аналізу окремо позначається числова фу –я: числовою фу-ю назив. залежність між елементами двох множин дійсних чисел Х і У, при якій кожному числу х з множини Х відповідає деяке цілком визначене число у з множини У. Цю залежність записують , де х – аргумент; у – функція. При цьому множина Х наз. областю визначення фу-ї і записується , а множина У – областю значень фу-ї, і запис. .
3. Складена фу-я. Фу-ю виду або , де наз. складеною фу-ю. Змінну у наз. проміжним аргументом.
Функція дійсної змінної: Нехай для довільного визначені фу-ї , розглянемо фу-ю (1). Ця фу-я є комплексно значною від дійсної змінної.
Фу-я (1) в точці має границю, якщо в цій точці існують границі.
Функція комплексної змінної: нехай кожному елементу z з деякої множини Е за певним законом поставимо у однозначну відповідність компл. число із множн. , тоді на мн. комплексно значна фу-я комплексної змінної. Їх називають комплексними фу-и змінної. ,
5. Границя функції в точці. Властивості границь. Визначні границі. Границі функції в метричних просторах та функцій комплексної змінної.
, гранична точка множини Х.
Означення:
Точка назив. граничною точкою множини Х, якщо у будь-якому околі цієї точки міститься принаймні одна точка цієї множини. Інакше грани. точка назив. точкою скупчення.
Гранична точка може належати множині і неналежати.
Визначення 1 (за Коші):
Число А назив. границею функції при і якщо для будь-якого існує таке , що з нерівності нерівність .
Визначення 2 (за Гейне)
Число А назив. границею функції при і, яку б послідовність значень не пробігала змінна збіжна до відповідна послідовність значень функції буде збіжною до числа А.
, , ,
Властивості границь.
Якщо фу-я має границю в точці , то ця границя єдина.
Якщо для всіх х з деяким околом точки , крім, можливо самої точки має границю, то .
для всіх х у деякому околі точки , крім, можливо самої точки , і фу-ї й а(х) у точці мають ту саму границю b, то і фу-я в точці має границю, що дор. цьому самому числу b
Нехай фу-ї і визначені в деякому околі точки , крім можливо самої точки , і нехай існують і . Тоді:
, якщо
Визначні границі: Доведення:
. . Поділимо обидві частини на Для досить малих будь-яка крива за пряму , це і доводить, що
В
О х
- друга визначна границя. Доведення: нехай пробігає деяку послідовність - ціла частина. при ,то додаємо 1і підносимо до степеня: - границя лівої. - границя правої. Нехай Таким чином можемо записати, що