- •1. Аналіз поняття множини. Потужність множини. Зчисленні множини та їх властивості. Множини натуральних чисел n, цілих z, раціональних q, та дійсних чисел r, їх потужність.
- •2. Множина дійсних чисел r, її властивості. Поняття верхньої і нижньої граней числової множин, їх існування і властивості. Теорема Кантора.
- •3. Границя послідовності. Основні теореми про збіжність послідовностей. Границя обмеженої монотонної послідовності. Число е. Границя послідовності в метричному просторі.
- •4. Поняття функції. Способи задання функцій. Функції n дійсних змінних та комплексної змінної. Поняття функції в школі.
- •Словесний.
- •6. Неперервність функції в точці і на відрізку. Неперервність функції кількох змінних та функцій комплексної змінної. Поняття рівномірної неперервності.
- •7. Основні теореми про неперервність функції
- •8. Розвиток поняття степеня. Степенева ф-я в дійсній та комплексній області /означення, властивості/. Степенева ф-я в школі.
- •9. Показникові ф-я дійсній та комплексній змінної (означення, властивості). Показникові ф-я в школі.
- •10. Логарифмічна ф-ія дійсної та комплексної змінної (означення, властивості). Розклад її в степеневий ряд. Логарифмічна ф-ія в школі.
- •13. Похідна ф-ії комплексної змінної. Умови диференційовності. Аналітичні ф-ії.
- •14. Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші.
- •15.Екстремуми ф-ції. Опуклість і точки перегину. Асимптоти.
- •16. Первісна та її властивості, невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування.
- •17. Визначений інтеграл та умови його існування. Формула Ньютона-Лейбніца, вивчення інтеграла в школі.
- •1. Задача про обчислення площі кривої трапеції.
- •2. Задача з механіки.
- •19. Поняття метричного простору. Повні метричні простори.
- •20. Теорема Банаха про стискуючі відображення та її застосування.
- •21. Числові ряди з дійсними та комплексними членами, основні поняття. Необхідна умова збіжності. Геометрична прогресія та гармонічний ряд. Властивості збіжних рядів.
- •22.Ознаки збіжності рядів з додатними членами. Ряди з довільними членами, їх абсолютна та умовна збіжність, властивості.
- •23. Степеневі ряди з дійсними та комплексними членами. Абсолютна збіжність. Інтервал та радіус збіжності.
- •25.Застосування інтегрального числення до розв-ня задач геометрії і фізики.
- •1. Площа фігури.
- •26. Обернені тригонометричні функції дійсної та комплексної змінної (означення, властивості).
- •27. Означення поняття теорії диференц. Рівнянь: порядок, розв’язок, загальний розв’язок, інтегральна крива, початкові умови, задача Коші.
- •28. Диф. Рівняння з відокремлюваними змінними, лінійні рівняння та рівняння, що зводяться до них.
- •30. Лінійні диф. Рівняння вищих порядків із сталими коефіцієнтами та їх застосування до вивчення коливних процесів.
10. Логарифмічна ф-ія дійсної та комплексної змінної (означення, властивості). Розклад її в степеневий ряд. Логарифмічна ф-ія в школі.
Ф-ія, обернена до показникової ( ),наз. логарифмічною. Записується: ,де - основа, причому , - аргумент.
Властивості: 1) ; 2) ; 3)Ф-ія ні парна, ні непарна; 4) - нуль ф-ції; 5)Ф-ія монотонна: при спадає, а при - зростає; 6)При : , якщо ; ,якщо . При : , якщо ; ,якщо .
Логарифмічною ф-єю від комплексної змінної наз ф-ія, обернена до показникової ( ). оскільки ф-ія ніколи не приймає значення 0. Позначається .
Знайдемо дійсну і уявну частини ф-ії .
Положим , , де , , . Тоді маємо . Прирівнявши модулі і аргументи правих і лівих частин отриманого комплексного рівняння, знаходимо , .Таким чином, , Ввівши позначення, маємо . Логарифм (як ф-ія деякої комплексної змінної) нескінченнозначна ф-ія, дійсна частина якої визначається однозначно і дорівнює натуральному логарифму його модуля, а уявна – дорівнює аргументу числа.
Відмітимо особливо важливі часткові випадки.
1. - додатнє число: .Тоді
і
…
має нескінченну множину значень: …, …, але тільки одне із них (при ) дійсне: саме те значення ,яке відоме із елементарної алгебри.
2. - від’ємне число .Тоді і для отримаємо наступні значення:
…, ….,
( ).
Значень і в цьому випадку буде нескінченна множина, але серед них немає ні одного дійсного. Тому в елементарній алгебрі і стверджують, що не існує логарифма від’ємного числа.
3.Модуль числа дорівнює одиниці: .Тоді і . Всі значення логарифма числа уявні.
Основні властивості логарифмічної ф-ії:
, , .
11.
12. Поняття похідної для ф-ій однієї і кількох змінних; геометричний та механічний зміст похідної. Похідні основних елем. ф-ій, правила диференціювання.
Задача про проведення дотичної до кривої.
До даної прямої в даній точці проведемо дотичну .
Озн. Дотична до кривої, заданої р-ням наз. граничне положення січної ,якщо .
,
. Звідси
Границя відношення приросту ф-ії до приросту аргументу, якщо , якщо вона існує, наз. похідною ф-ії в точці .
Геометричний зміст. Похідна від ф-ії в даній точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до кривої, заданої рівнянням в точці хо.
Фізичний зміст. Похідна від шляху по часу = миттєвій шв.або шв. в даний момент часу.
- р-ня дотичної.
- р-ня нормалі (нормаль – це пряма, перпендикулярна до дотичної).
Похідні основних елементарних ф-ій.
1. ;
2. ;
3. ;
;
;
4. ;
;
5. ;
;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. .
Операція знаходження похідної даної ф-ії наз.її диференціюванням.
Правила диференціювання.
1)Похідна суми двох диференціальних ф-ій дорівнює відповідній сумі похідний цих ф-ій.
.
Доведення
Дамо аргументу приріст . Тоді ф-ії , отримають в свою чергу приріст ,оскільки зв’язані рівністю . Тоді
.
Звідси . Знайдемо границю , або , що й треба було доказати.
2)Похідна від добутку двох диференціальних функцій дорівнює сумі добутків першої ф-ії на похідну другої і другої на похідну першої.
3)Сталий множник можна винести за знак похідної.
4)Похідна від частки двох диференціальних ф-ій дорівнює дробу, у якого знаменник дорівнює , а чисельник дорівнює різниці добутків першої ф-ії на похідну другої і другої на похідну першої.
.