1. Вектори у трьохвимірному евклідовому просторі. Векторний метод розв’язування геометричних задач.

Відрізок називається направленим, якщо при розгляді його враховується порядок задання його кінців. Вільним вектором називається множина всіх еквіполентних направлених відрізків.

Вектори часто задають за допомогою координат. Координатами вектора АВ, початок якого , а кінець , називають числа Два вектори називаються рівними, якщо їх відпо­відні координати рівні. Рівним векторам відповідають рівні за довжиною і однаково напрямлені відрізки і навпаки.

Координати вектора можуть бути будь-якими дій­сними числами. Якщо всі. координати вектора — нулі, то його називають нульовим вектором і позначають символом Це єдиний вектор, якому не відповідає напрямлений відрізок і який не має напряму.

Якщо О — початок координат, а числа — координати точки А, то ці самі числа є і координатами вектора . Вектор можна зобразити і напрямленим відрізком , де — будь-яка точка простору, а Р — точка з координатами Адже

Говорять: будь-який вектор можна відкласти від будь-якої точки простору.

Довжиною, або модулем вектора називають дов­жину напрямленого відрізка, що зображає його. Позначають довжину вектора символом Довжину вектора можна виразити через його координати: Вектори, яким відповідають паралельні напрямлені відрізки, називають колінеарними. Вектори ОА і ОВ колінеарні тільки тоді, коли точки О, А і В лежать на одній прямій. Колінеарні вектори бувають співнапрямлені або протилежно напрямлені.

Три вектори називають компланарними, якщо від­повідні їм напрямлені відрізки розміщені у паралель­них площинах. Вектори ОА, ОВ і ОС компланарні тільки за умови, що точки О, А, В і С лежать в одній площині.

2. Система координат у просторі. Найпростіші задачі координатної геометрії.

Нехай х, у, z – три попарно перпендикулярні координатні прямі, які перетинаються в точці О. Назвемо їх координатними осями: «вісь х», «вісь у,» «вісь z».

Точка О — початок координат. Кожна вісь точкою О розбивається на дві півосі — додатну, позначе­ну стрілкою, і від'ємну. Площини, які проходять че­рез осі х і у, х і z, у і z, — координатні площини. Позначають їх відповідно: ху, хz і уz. Координатні площини розбивають весь простір на 8 октантів.

Якщо задано таку систему координат, кожній точці простору можна поставити у відповідність впорядкова­ну трійку дійсних чисел, а кожній трійці чисел — єдину точку.

Нехай дано точку А. Опустимо з неї на площини уz, хz, ху перпендикуляри ААx, ААу, ААz. Дов­жини а, b, с цих перпендикулярів, узяті з відпо­відними знаками, називають координатами точки А, Записують: А(а;b;с).

Теорема. Квадрат відстані між двома точ­ками дорівнює сумі квадратів різниць їх відповід­них координат.

Доведення. Нехай дано дві точки і . Доведемо, що

Координати проекцій точок А і В на координатні осі х, у і г дорівнюють: Довжини

проекцій відрізка АВ на ці осі:

Квадрат довжини відрізка дорівнює сумі квадратів довжин його проекцій на три взаємно перпендикуляр­ні прямі. Тому

або

Теорему доведено.

Як виражаються координати середини відрізка че­рез координати його кінців? Якщо на координатній прямій дано точки А(а); В(b), то координата середини відрізка дорівнює . А як виражаються координати _точки ceредини відрізка АВ через координати його кінців і ? Позначимо cередину відрізка АВ буквою С. Її проекціями на осі х, у, z будуть середини відрізків Адже довжини проекцій двох відрізків однієї прямої відносяться, як довжини відрізків, які проектують. Отже, , . виходить, кожна координата середини відрізка до­рівнює півсумі відповідних координат його кінців.

Приклад. Якщо дано точки А(1;4;-3) і В(3;0;5), то серединою відрізка АВ є точка С(2;2;1).