23. Основні конфігураційні теореми і їх застосування до розв’язання задач.

Теорема 1 (пряма теорема Дезарга)

Якщо прямі, що сполучають відповідні вершини трикутників АВС і перетинаються в одній точці, то відповідні сторони цих трикутників перетинаються попарно в трьох точках , які належать одній прямій.

Д-ння

Нам дано, що прямі , , належать одному пучку з центром S. Потрібно довести, що точки належать одній прямій. Для доведення скористаємось методом подвійних відношень. Проведемо пряму PQ і позначимо її точки перетину з прямими АВ і відповідно і .

Доведемо, що = =R.

Дійсно маємо:

.

Таким чином, (TPR )=( TPR ), звідки випливає = . Останнє означає , що = = R

Теорема доведена.

Теорема2 (обернена теорема Дезарга) Якщо відповідні сторони трикутників АВС і перетинаються у трьох точках, що лежать на одній прямій, то прямі, які сполучають відповідні вершиницих трикутників перетинаються в одній точці.

Нехай на проективній площині задано 6 точок. З’єднавши їх послідовно прямими (в деякому порядку) ми отримали фігуру, яка наз. неповним шестикутником. Для неповних шестикутників ввводиться поняття протилежних сторін. Для малюнків протилежними будуть сторони 1 і 4, 2 і 5, 3 і 6.

Теорема 3 (Паппа- Паскаля)

Якщо в неповному шестикутнику ABCDEF вершини А, С, E., лежать на одній прямій, а вершини В, D, F- на другій прямій, то пари протилежних сторін цього шестикутника перетинаються у трьох точках, які належать одній прямій.

Д-ння

Нам потрібно довести, що точки P,Q,R лежать на одній прямій, а це рівносильно тому, що PQ проходить через точку R. Для цього позначимо і переконаємося, що =R. Скористаємось методом пародвійних відношень

Звідси випливає , що ( )=( ), тобто = R.

Теорему доведено.

Теорема4 (друге формулювання т. Паппа-Паскаля)

Нехай в неповному шестикутнику сторони позмінно інцидентні двом точкам. Тоді три прямі, які з’єднують протилежні вершини цього шестикутника належать одному пучку.

Застосування теорем до розв’язання задач на доведення

Задача: В п’ятикутнику ABCDE позначимо , . На прямій AF довільно взято точку М і знайдено точки , . Доведіть , що пряма KN проходить через т Н.

Розв’язання:

В цій задачі мова йде про конфігурацію ( ), тому знайдемо пару дезаргових трикутників. Ними будуть ABE і MCD. Прямі АМ, ВС і ED сполучають їх відповідні вершини і за умовою перетинаються в т . Тому за теор. Дезарга т. К,N,H належать одній прямій.

24. Поняття лінії і гладкої кривої в евклідовому просторі, їх параметризація за допомогою вектор-функцій. Кривина та скрут кривої

Розглянемо деякий відрізок АВ .

Означення: Простим куском лінії наз. множина точок, яка топологічно еквівалентна відрізку. Топологічне відображення можна розглядати як результат розтягу (стиску) згину без розривів і склеювань.

Регулярною лінією наз. результат склеювання скінченного числа простих кусків ліній. При цьому повинні виконуватись певні умови, які будемо записувати для кожного задання лінії в просторі.

1.Координатний спосіб (1)

2. Векторний спосіб (2)

3.Як перетин двох поверхонь (3)

Лінія наз. регулярною в точці t= , якщо в цій точці її визначають неперервні і неперервно диференційовані ф-ції, крім того повинні виконуватись такі умови:

для (1), для (2)

у вип. (3)

Якщо крива регулярна в кожній своїй точці, то в цій точці можна побудувати дотичну.

Кривина і скрут кривої

Нехай крива параметризована за допомогою натурального параметра . Розглянемо на кривій деяку точку . Побудуємо в т. і М одиничні вектори дотичних. Зведемо їх в одну точку.

кут на який повернуто до

Означення: Кривиною кривої в заданій точці наз. границя відношення кута повороту дотичної на дузі, яка стягується в точку до довжини цієї дуги.

( = )

Кривина це величина, яка характеризує на скільки в околі розглядуваної точки крива відрізняється від прямої. Якщо в кожній точці кривина =0 то маємо пряму.

Означення: Крученням кривої в заданій точці наз. границя відношення кута повороту бінормалі на дузі, яка стягується в точку до довжини цієї дуги.

(Бінормаль – пряма, яка проходить через т.  перпендикулярно до дотичної і головної нормалі.)

Якщо кручення в кожній точці =0 то крива плоска. І навпаки

Для встановлення формул, за якими визначається кривина і кручення запишемо співвідношення: , = , =

= (4) = (5)

В координатній формі: к= (6) (7)

При довільній параметризації к= (8) (9)

В координатній формі

к= (10)

(11)

Співвідношення, які пов’язують кривину і кручення кривої з натур. параметром s наз. натуральними рівняннями