17. Група проективних перетворень площини. Застосування проективних перетворень до розв-ня задач.

Розглянемо відображення проективної площини на себе за таким законом.

(1)

Де - коефіцієнт пропорційності.

– компоненти точки прообразу.

– образу

є не виродженою, тобто det C≠0.

Відображення (1) є перетворенням проективної площини. Для будь-яких двох прообразів матимемо різні образи; для кожного образу завжди є відповідний прообраз.

Відображення, що відбувається за законом (1) назив. проективним перетворенням площини.

Перетворення ще можна записати:

Вл. проективн. перетворення:

1. Композиція двох перетворень є перетворення проективне.

2. Всяке перетворення, обернене до даного проективного, є проективним.

Д-ня: f:

– проективне перетворення

Розглянуті 2 вл. можна об’єднати:

3. Множину всіх перетворень (1) утворює групу.

При розв’язуванні геометричних задач використовуються наступні вл. проективних перетворень.

1. При даному перетворенні пряма завжди переходить в пряму.

2. при проективному перетворенні зберігається відношення інцидентності точок і прямих.

3. Проективне перетворення повністю визначається заданням 4-ох пар відповідних точок.

18. Паралельна проекція. Зображення плоских і просторових фігур в паралельній проекції.

Під зображенням розуміють паралельну проекцію фігури на основну площину.

Під паралельним проектуванням розуміють центральне проектування з невласним центром.

Отже, при паралел. Проектуванні проектуючи прямі є паралельними.

При паралельному проектуванні напрям проектування задається наперед деяким вектором.

А'В' – проекція АВ на основну площину α вздовж вектора проектування .

Вл. паралельної проекції:

1. проекції точки є точка;

2. проекцією прямої, паралел. до напряму проектування ( ) є точка;

3. проекц. прямої, не паралел. до , є пряма;

4. при паралел. проектуванні зберігається відношення паралельності;

5. зберігається відношення паралел. відрізків.

Останні 2 вл. є основними, вони використовуються для зображення фігур.

Будь-який трикутник зображується у вигляді довільного трикутника.

Паралелограм, ромб, квадрат, прямокутник – у вигляді паралелограма.

Трапеція – у вигляді трапеції із збереженням відрізків діагоналей.

Коло – у вигляді овалу (еліпса).

Овал – це лінія, яка складається з однакової к-сті рівних дуг.

Побудова зображення призми зводиться до побудови зображення основи.

Побудова зображення піраміди:

1. зображення основи;

2. зобр. центра основи;

3. з центра О будуємо промінь;

4. на ньому відкладаємо висоту піраміди;

5. сполучаємо вершину піраміди з вершинами основи.

Побудова зображ. циліндра:

1. еліпс – зображ. нижньої основи;

2. через кінці великої осі еліпса вертикально вверх проводимо промені;

3. на цих променях відкладаємо відрізки = висоті циліндра; отримаємо еліпс, що зображує верхню основу циліндра.

Конус:

1. зображ. основи;

2. будуємо вісь конуса, відкладаємо на ній висоту;

3. з вершини конуса проводимо дотичні до основи.