14. Взаємне розміщення прямої і площини у просторі. Кут між прямою і площиною.

Нехай у просторі задано площину і пряму .

(3).

Будемо шукати спільні точки прямої і площини. Для цього розв’яжемо систему (3). Маємо:

,

(4).

Дослідимо (4) на розв’язки.

1. , .

Рівняння має один розв’язок, пряма і площина перетинаються. Припустимо, що пряма і площина перпендикулярні, тоді напрямний вектор прямої і нормальний ветор площини є паралельними, тобто: – умова перпендикулярності прямої і площини.

2. . Рівняння не має розв’язків, пряма і площина не перетинаються, вони паралельні.

3. . Рівняння має безліч розв’язків, пряма належить площині. – умова паралельності прямої і площини.

Кутом між прямою і площиною наз. кут між прямою і ортогональною проекцією на площину.

, .

, , , , .

Якщо напрямлений вниз, то маємо: ,

.

.

.

15. Різні способи задання прямої у просторі. Взаємне розміщення 2-х прямих у просторі.

Розглянемо у просторі деяку точку і .

Прямою, яка проходить через т. і паралельно до наз. множина точок простору, таких що , тобто . (1)

(1) – векторно параметричне рівняння прямої.

– початкова точка, – напрямний вектор.

Знайдемо рівняння прямої: , , .

– параметричні рівняння прямої.

– канонічні рівняння прямої.

– рівняння прямої, що визначається двома точками.

– загальні рівняння прямої у просторі.

– напрямний вектор прямої, яка задається як перетин 2-х площин.

, .

Нехай у просторі задано 2 прямі: , яка визначається початковою точкою і напрямним вектором і – т. , , причому в афінному репері точка , , , .

Якщо вектори , і є компланарними, тобто (1), то тоді і лежать на одній площині.

(1) наз. умовою належності 2-х прямих одній площині. Цю умову можна записати так: (2).

Якщо прямі і не лежать в одній площині, то їх наз. мимобіжними.

Припустимо, що виконується умова (2). Розглянемо такі випадки:

1. Якщо і перетинаються, то їх напрямні вектори не колінеарні, тобто . Нехай перетинаючись і – перпендикулярні , тоді їх напрямні вектори ортогональні, тому .

– умова перпендикулярності 2-х прямих у просторі.

2. Якщо і є паралельними, то їх напрямні вектори є колінеарними, тому:

– умова паралельності 2-х прямих.

16. Проективна площина та її моделі, подвійне відношення 4-ох точок прямої. Гармонійні четвірки точок. Гармонійні вл-сті повного 4-ох вершинника.

Розглянемо деяку евклідову площину П і в’язку прямих і площин з центром в т. О. Розглянемо відповідність, при якій точці площини П ставиться у відповідність пряма в’язки, а прямій площині – площина, і навпаки.

Нехай А – деяка т. площина П, тоді точки А і О визначають пряму в’язки – ОА. ОА наз. перспективною точці А, а т. А – перспективна прямій в’язки ОА. Дов. Пряма а площини П, разом з точкою О утворюють єдину площину. Цю площину назив. перспективною прямій а.

Пряму в’язки, яка // до пл-ни П назив. особливою. Для того щоб розглядувана відповідність була взаємно однозначна, припустимо, що для особливої прямої на площині п існує перспективна точка, що наз. невласною

Під невласною прямою площини будемо розуміти множину всіх невласних точок.

Евклідову площину, доповнену невласними точками, наз. розширеною евклідовою площиною, якщо виконуються умови:

1. Кожна пряма доповнюється лише однією невласною точкою;

2. Різні прямі мають різні невласні точки;

3. Паралельні прямі мають спільну невласну точку;

4. Множина всіх невласних точок становить невласну пряму.

Непорожню множину П, елементами якої точки і прямі, назив. проективною площиною, якщо взаємно-однозначне відображення множини П відображається на площину в’язки, а точка – у пряму в’язки зі збереженням відношення інцидентності точок і прямих.

Є дві основні моделі моделі проективної площини: розширена евклідова площина та в’язка прямих і площин.

Розгл. на прямій 4 точки A, B, C, D.

Озн. Подвійним, складним або ангармонійним відношенням цих 4-ох точок наз. число, яке дорівнює відношенню простих відношень(AB,C) i (AB,D).

Пара АВ – базисна, CD – роздільна причому AB = -BA

Повний 4-ох вершинник – конфігурація, яка складається з 4-ох точок загального положення і 6-ти прямих, що ними визначаються.

Сторони AB i CD, AD i BC, AC i BD назив. протилежними. Точки перетину протилежних сторін назив. діагональними (т. P,Q,R). Пряма, що визначається двома діагональними назив. діагоналлю 4-ох вершинника.

Отже, повний 4-ох вершинник має 4 вершини, 6 – сторін, 3 – діагоналі .

Якщо подвійне відношення (AB,CD)=1, то такі 4 точки назив. гармонійними. Розглянемо гармонійні вл-сті повного 4-ох вершинника.

Вл. 1 На кожній діагоналі повного 4-ох вершинника існує гармонійна четвірка точок, а саме 2 діагоналі точки і 2 точки перетину цієї діагоналі з сторонами, що утворюють третю діагональну точку.

Вл.2. На кожній стороні повного 4-вершинника існує гармонійна 4-ка точок, а саме 2 вершини і 2 точки перетину цієї сторони з діагоналями.