6.Різні способи задання прямої лінії на площині.

Оскільки курс аналіт. геом. на векторній аксіоматиці, тобто об’єктами є точка та вектор, то всі інші поняття потрібно означати.

Розглянемо на площині деяку т.М₀ і ненульовий вектор .Озн: Прямою, яка походить через точку М₀ , || до вектора наз. множина точок М площини, таких що =t , t (1), t-параметр або дійсне число. М₀-початкова т. прямої, -напрямний вектор прямої, М-біжуча точка. За початкову т. можна прийняти будь-яку т. прямої. За напрямний вектор приймемо будь-який вектор || до даного.

Розглянемо на площині афінний репер R={0, } і припустимо, що М₀(х₀,у₀),М(х,у), =(а₁,а₂).Знайдемо координати . =(х-х₀,у-у₀).

(1) , (2) -параметричні р-ня прямих.

t= , t= . (3) -канонічне р-ня прямої.

Для того, щоб отрим. загальне р-ня прямої розгл. умову колінеарності, якщо вектори мають координати: =(а₁,а₂), =(b_1,b₂). Для того, щоб і були колінеарні необхідно і достатньо, щоб викон. умова. . Нехай а||b, тоді a_{1= ,} a_{2= ,   .} Запишемо умову колінеарності векторів М₀М і через визначник ( , )=0.   =0 a₂x-a₂x₀-a₁y+a₁y₀=0,

a₂x-a₁y+(a₂x₀+a₁y₀)=0. a₂=A, -a₁=B, -a₂x₀+a₁y₀=C.

(4)Ax+By-C=0-загальне р-ня прямої. А=а₂, В=а₁, (-В,А). Розглянемо вектор (-В,А) відносно ортонормованого репера і розгл. скалярний добуток * =-АВ+АВ=0 , це означає що || до прямої (4) і назвемо його нормальним вектором . Якщо в р-ні (4) а²+в²=1 то таке р-ня назвемо нормальним р-ням прямої: xcos +ysin -p=0 (5). Рівняння прямої, що визначається двома точками: Нехай пряма d задається точками М₁(х₁,у₁),М₂(х₂,у₂). Приймемо одну із даних точок за початкову напр. М₁, а вектор за напрямний. Запиш. коорд. вектора =(х₂-х₁;у₂-у₁) і скориставшись р-м (3) маємо -(6) р-ня прямої що визн. 2-точками. Припустимо,що т.М₁ іМ₂ належать осям координат ох і оу. (7)-р-ня прямої у відрізках. а і b довжини відрізків, які відтинаються на осях координат.

Розглянемо канонічне р-ня прямої поділимо праву і ліву частину на а₁, - кутовий коефіцієнт прямої. (y-y₀)=k(x-x₀)-(8)-р-ня прямої з кутовим коефіцієнтом прямої k. Зауважимо, що в прямокутній сист. корд. k=tg , -кут, який утв. пряма з додатнім напрямом осі ох.

З р-ня 8 можна отримати: y=y₀+kx-kx₀, kx₀,y₀- числа, y=kx+b(9)-р-ня прямої з кутовим коеф. прямої k. y₀+kx₀=b(початкова ордината).

Припустимо, що пряма визнач. т.М₀(х₀,у₀) і нормальним вектором (a,b). Нехай М(х,у)-довільна т. прямої тоді і є ортогональними. * =0.

A(x-x₀)+B(y-y₀)=0 (10)-р-ня прямої, що визнач. початковою точкою і нормальним вектором.

Зауваж. Для того, щоб від загального р-ня 4 перейти до 9, визначимо у: By=Ax-C, y=kx+b, y=- .

7. Циліндричні поверхні.

Розглянемо площину П і лінію , є П і вектор , який не паралельний до площ. П. Вектор визначає в’язку паралельних прямих. Серед прямих цієї вязки будуть такі, які перетнуть площину П у точках, що належать лінії .

Озн.: Циліндричною поверхнею, або циліндром 2-го порядку наз. множина точок, які належать тим прямим в’язки, яка визначається , які перетинають площину П у т. що належать прямій .

Лінію назвемо напрямною циліндричній поверхні, пряму що перетинає назв. твірною. Знайдемо загальне р-ня циліндричної поверхні, для цього введемо репер R=(0, ). Припустимо, що відносно репера вектор має коорд. =(а₁,а₂,а₃) і загальне р-ня прямої:

=а₁₁х²+2а₁₂ху+а₂₂у²+2а₁₃х+2а₂₂у+а₃₃=0 (1), М(х;у;z), N(х^/,у^/,0). Запишемо умову колінеарності = (2), =(х^/-х,у^/-у,0-z)

Так як N то корд. її повинні задовольняти р-ня

1. а₁₁х^/2+2а₁₂х^/у^/+а₂₁у^/2+2а₁₃х^/+2а₁₂у^/+а₃₃=0(3),

-(4). f

Припустимо, що твірна, а отже і паралельні до осі координат в даному випадку до осі oz, тоді матиме координати =(0,0,а₃).

Тоді р-ня циліндричної поверхні f(x,y)=0.Отже, якщо твірна циліндричної поверхні паралельна до осі координат то р-ня напрямної і є р-ня циліндричної поверхні. В залежності від того, яка лінія 2-го порядку служить за напрямну, будемо розрізняти такі цил.пов. Якщо за напрямну служить еліпс, то маємо еліптичний циліндр. Якщо за напрямну гіпербола то це гіперболічний циліндр.

Якщо 2 паралельні прямі то циліндричною поверхнеює 2 паралельні площини. Так як у випадку коли твірна цил.пов. паралельна до осі коорд. є р-ня напрямної то припустимо, що напрямна задається канонічним р-ням тоді це р-ня є канонічним р-ням цил.пов.