19. Основні позиційні та метричні задачі на проекційному малюнку. Приклади.

Позиційною назив. задача на побудову точок перетину геометричних фігур. Їх ще називають афінними.

Для того, щоб ця задача мала розв’язок треба, щоб зображення було повним.

Зображення наз. повним, якщо побудовано або завжди можна побудувати проекцію точки на основну площину.

Розглянемо таку задачу: яка із точок знаходиться найближче до площини? (В-дь: т. Е)

Без побудованих проекцій зображення є неповним.

Наприклад, зображення призм, пірамід, циліндрів і конусів є повним.

Позиційні задачі класифікуються так:

1. Задачі на побудову перетину прямої і площини (сліду);

2. Задачі на побудову перерізів геометричних фігур;

3. Задачі на побудову лінії перетину двох геометричних фігур.

Задача. Дано зображення трикутної піраміди. На зображенні дано 2 точки M i N. Побудувати точку перетину MN з площиною основи піраміди.

Метричні задачі – задачі, пов’язані з поняттям метрики(відстані)

Класифікація метричних задач:

α – точка перетину MN і площини основи.

1. Побудова перпендикулярних прямих і площин;

2. Побудова спільного перпендикуляра до двох прямих;

3. Задачі на плоскі фігури, довільно розміщені в просторі.

4. На відшукання форми зображеної фігури.

21.Многокутники на евклідовій площині, площа многокутника. Теорема існування ієдиності.

Кажуть, що на множині всіх многокутників визначено їх вимірювання, якщо задано відображення, яке кожному будь-якому многокутнику ставить у відповідність скалярну величину (площу) для якої виконуються аксіоми:

1. площа завжди додатне число,

2. рівні многокутники мають рівні площі,

4. задано квадрат, із довжиною сторони, що дорівнює одиниці довжини, площа якого приймається за одиницю площі.

Покажемо, що на множині многокутників завжди можна визначити їх міру. Для цього введемо поняття орієнтованого многокутника.

Многокутник Р називають орієнтовним, якщо вказано порядок обходу його вершин. Р - орієнтовний.

Орієнтовний проти годинникової стрілки – додатньо орієнтований, за – від'ємно орієнтовний.

Припустимо на площині задано прямокутну Декартову систему координат (ортонормований репер). . Розглянемо відносно цього репера многокутник . Тоді положення кожної вершини визначаються парою чисел.

Характеристикою орієнтованого многокутника є:

22. Конічні поверхні і їх властивост і

Розглянемо в площині Р деяку лінію і т.S, яка не належить Р. т.S визначаєх в просторі вязку прямих серед яких будуть такі,що перетнуть пл.. Р у точках, які належать лінії .

Означення: Конічною поверхнею або конусом 2-го порядку в парпосторі наз. множина точок простору, які належать тим прямим в’язки В(S), які перетинають пл.. Р й точках, що належать лінії .

- напрямна конічної поверхні, пряма вєзки В(S), яка перетинає - твірна, т. S – вершина.

загальне рівняння конічної поверхні:

Якщо за напрямну лінію служить еліпс, гіпербола або парабола то такий конус наз. невиродженим, якщо всі інші то- вироджений.

Канонічне рівняння невиродженого конуса:

Канонічне рівняння конічної поверхні, вершина конуса в початку координат, а напрямна еліпс - (*)

Якщо за напрямну конуса 2 пор. Служить гіпербола або парабола задані канонічним рівнянням то отримаємо канонічні рівняння конічних поверхонь дещо відмінних від (*), але шляхом перетворень репера їх досить просто звести до (*)

Конічні перерізи

1.Якщо невироджений конус за напрямну якого служить еліпс перетнути площиною, яка перетнула б всі твірні конуса, то в перерізі отримаєм еліпс.

2.Якщо конічну поверхню перетнути плошиною, яка паралельна до однієї твірної, то в перерізі отримаєм параболу.

3. Якщо конічну поверхню перетнути площиною паралельною до двох твірних то отримаємо гіперболу.