1. Бінарні відношення. Рефлексивні, симетричні, транзитивні бінарні відношення. Розбиття на класи. Фактор-множина.

Прямим добутком двох множин А, В назив. множина всіх впорядкованих пар елементів а, b таких, що аА і bВ і позначається АВ.

АВ={<а, b>: аА  bВ}. Якщо, наприклад, А={1,2}, В={3,4}, то АВ={<1,3>, <1,4>, <2,3>, <2,4>}, ВА={<3, 1>, <3, 2>, <4,1>, <4, 2>}. З цього прикладу випливає, що АВВА.

Бінарним відношенням між елементами множини А і В називається будь-яка підмножина пря мого добутку АВ.Якщо елементи а, b перебувають у бінарному відношенні , то це позначають так <a, b > або а  b.

Бінарне відношення еквівалентності визначають, як правило, на одній множині, тобто, розглядають прямий добуток АА.

Бінарне відношення   АА називається відношення еквівалентності, якщо воно:

1. рефлексивне, тобто (а) (а, а);

2. симетричне, тобто (а, b) (а, b  b, а);

3. транзитивне, тобто ( а, b, с) (а, b  b, с  а, с).

Очевидно, що =АА є відношення еквівалентності.

Взагалі для визначення того, чи буде бінарне відношення  відношенням еквівалентності потрібно перевірити виконання вимог 1, 2, 3.

Озн. Сукупність S непорожніх підмножин множини А називають розбиттям множини А, якщо кожний її елемент належить одній і тільки одній підмножині з S.

Кожна непорожня множина А завжди має два тривіальні розбиття: поелементне і ціле розбиття.

Нехай  - будь-яке віднош. еквівалентності з АА.Сукупність всіх елементів хА, які знаходяться у віднош.  з елементом а наз. класом еквівалентності і позначається [а].Таким чином, [а]={хА:х, а}.

З означення випливають так дві властивості:

1. Кожний елемент аА належить своєму класу еквівалентності [а] (це випливає з рефлексивності ).

2. Різні класи еквівалентності не перетинаються.

Доведення проведемо методом від супротивного, використовуючи модифікацію АВ А 

Припустимо, що різні класи еквівалентності [а], [b] перетинаються і с їх спільний елемент, тобто са і сb. Покажемо, що а=b.Нехай ха. Тоді х,а і так як а,с, то х,с. Оскільки х,с, то х,b. Це означає, що хb або аb. Аналогічно показуємо, що bа. Звідси слідує, що а=b.

Сукупність усіх класів еквівалентності множини А за відношенням еквівалентності  називається фактор-множиною і позначається А/.

Наприклад. Фактор-множина від А=Z за відношенням еквівалентності ={х,у: (х-у)**3} є А\={{3к},{3к+1}, {3к

2. Натуральні числа (аксіоми Пеано). Принцип математичної індукції.

Озн. Непорожня множина N, в якій для деяких елементів а і b існує відношення порядку “b слідує безпосередньо з а” і яке задовільняє такі аксіоми:

1) існує елемент е (одиниця), який не слідує безпосередньо за жодним іншим елементом;

2) для кожного елемента а існує і при тому лише один елемент - a, який слідує безпосередньо за а;

3) будь-який елемент, крім е, безпосередньо слідує за одним і тільки одним елементом;

4) якщо множина N має такі властивості:

а) еN;

б) якщо аN, то й aN,

то вона містить усі свої елементи, називається множиною натуральних чисел, а самі елементи множини N називаються натуральними числами. Очевидно, що множина чисел 1, 2, 3, …, які ми інтуїтивно засвоїмо в школі, задовольняють вимогам аксіоми Пеано.

Особлива роль належить четвертій аксіомі, бо вона є формально-логічною основою для доведення методом математичної індукції. На практиці аксіому 4 (її називають ще аксіомою індукції) використовують у формі принципу повної математичної індукції.

Т. 1. Якщо твердження Т, що містить натуральне число n, істине при n=1 і із істинності Т при n випливає його істинність при n+1, то воно істинне для всіх натуральних чисел. Дов.. Позначимо через N множину натуральних чисел, для яких твердження Т істинне. Тоді 1N, бо для n=1 твердження Т доведено. Нехай nN, тобто твердження т істинне для n. Тоді nN, бо за теоремою, якщо Т істинне для n, то воно буде істинне і для n. Згідно з аксіомою 4 множина N збігається з множиною всіх натуральних чисел, тобто Т істинне для всіх натуральних чисел.

В багатьох випадках використовують інші форми принципу повної математичної індукції.

Т. 2. Якщо про деяке твердження Т відомо, що воно істинне для деякого натурального числа n і з припущенням, що Т істинне для натурального числа mn випливає, що воно істинне для m, тоді Т істинне для всіх натуральних чисел mn.

Т. 3. Якщо про деяке твердження відомо, що воно істинне при n=1 і з припущення, що Т істинне для всіх натуральних менших n(n1) випливає, що воно істинне для n, то Т істинне для всіх натуральних чисел.

Т.4. Якщо твердження Т істинне при к1 і з того, що воно істинне для всіх кmn випливає, що воно істинне для n, то твердження Т істинне для будь-якого числа ак.